Disuguaglianza di Popoviciu

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In analisi matematica, la disuguaglianza di Popoviciu è una disuguaglianza riguardante le funzioni convesse. È simile alla disuguaglianza di Jensen e fu pubblicata nel 1965 dal matematico rumeno Tiberiu Popoviciu[1].

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia ƒ una funzione da un intervallo I \subseteq \mathbb{R} in \mathbb{R}. Se ƒ è convessa, allora per tre punti qualsiasi x, y, z di I,


\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3} + f\left(\frac{x+y+z}{3}\right) \ge \frac{2}{3}\left[ f\left(\frac{x+y}{2}\right) + f\left(\frac{y+z}{2}\right) + f\left(\frac{z+x}{2}\right) \right].


Viceversa, se ƒ è continua, allora è convessa se e solo se la disuguaglianza precedente vale per ogni xyz in I. Se ƒ è strettamente convessa, la disuguaglianza è stretta ad eccezione del caso x = y = z.[2]

Vi sono delle generalizzazioni pesate di questa disuguaglianza, oppure con un qualsiasi numero finito di punti anziché 3.[3][4]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Tiberiu Popoviciu, Sur certaines inégalités qui caractérisent les fonctions convexes in Analele ştiinţifice Univ. "Al.I. Cuza" Iasi, Secţia I a Mat., vol. 11, 1965, pp. 155-164.
  2. ^ Constantin Niculescu, Lars Erik Persson, Convex functions and their applications: a contemporary approach, Springer Science & Business, 2006, p. 12, ISBN 978-0-387-24300-9.
  3. ^ Darij Grinberg (2008). Generalizations of Popoviciu's inequality. arXiv:0803.2958v1
  4. ^ J. E. Pečarić, Frank Proschan, Yung Liang Tong, Convex functions, partial orderings, and statistical applications, Academic Press, 1992, p. 171, ISBN 978-0-12-549250-8.