Disuguaglianza di Bernstein

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Nella teoria della probabilità, la disuguaglianza di Bernstein è una delle disuguaglianze riguardanti la somma di variabili casuali. Venne formulata da Sergei Natanovich Bernstein, di cui porta il nome.

Teorema[modifica | modifica wikitesto]

Siano X_1, ..., X_n delle variabili casuali indipendenti limitate, allora vale la disuguglianza:

Prob( |\sum_{i=1}^n X_i - \mu| \ge \lambda) \le 2 e^{-\frac{\lambda^2}{2 \sigma^2 + \frac{2}{3} m \lambda}};

dove:

  • \sigma^2 = Var( \sum X_i ) = \sum Var(X_i) = \sum \sigma_i^2 è la varianza della somma delle variabili,
  • \mu = \sum E[X_i] è il valore atteso della somma delle variabili,
  •  m è una costante tale che Prob(|X_i-\mu_i|>m)=0, ovvero m è lo scarto massimo rispetto alla media, presente tra le n variabili casuali  X_1, \ldots, X_n (tale m esiste, in quanto si è assunto che le X_i fossero limitate).

Disuguaglianza di Bernstein e Chebyshev a confronto[modifica | modifica wikitesto]

Utilizzando la disuguaglianza di Chebyshev quadratica, si può stimare la stessa quantità:

 P(|\sum_{i=1}^n X_i - \mu| \ge \lambda ) \le \frac{\sigma^2}{\lambda^2};

la stima di Bernstein è evidentemente più accurata: garantisce infatti un decadimento esponenziale (per grandi \lambda) della probabilità che la somma delle variabili aleatorie si discosti dalla media (mentre la disuguaglianza di Chebyshev garantisce solo un decadimento quadratico). Tuttavia, la disuguaglianza di Bernstein è valida sotto l'ipotesi che le variabili considerate siano limitate (ipotesi non necessaria per Chebyshev).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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