Disuguaglianza di Bernstein

Nella teoria della probabilità, la disuguaglianza di Bernstein è una delle disuguaglianze riguardanti la somma di variabili casuali. Venne formulata da Sergei Natanovich Bernstein, di cui porta il nome.

Teorema

Siano $X_1, ..., X_n$ delle variabili casuali indipendenti limitate, allora vale la disuguglianza:

$Prob( |\sum_{i=1}^n X_i - \mu| \ge \lambda) \le 2 e^{-\frac{\lambda^2}{2 \sigma^2 + \frac{2}{3} m \lambda}}$;

dove:

• $\sigma^2 = Var( \sum X_i ) = \sum Var(X_i) = \sum \sigma_i^2$ è la varianza della somma delle variabili,
• $\mu = \sum E[X_i]$ è il valore atteso della somma delle variabili,
• $m$ è una costante tale che $Prob(|X_i-\mu_i|>m)=0$, ovvero $m$ è lo scarto massimo rispetto alla media, presente tra le $n$ variabili casuali $X_1, \ldots, X_n$ (tale $m$ esiste, in quanto si è assunto che le $X_i$ fossero limitate).

Disuguaglianza di Bernstein e Chebyshev a confronto

Utilizzando la disuguaglianza di Chebyshev quadratica, si può stimare la stessa quantità:

$P(|\sum_{i=1}^n X_i - \mu| \ge \lambda ) \le \frac{\sigma^2}{\lambda^2};$

la stima di Bernstein è evidentemente più accurata: garantisce infatti un decadimento esponenziale (per grandi $\lambda$) della probabilità che la somma delle variabili aleatorie si discosti dalla media (mentre la disuguaglianza di Chebyshev garantisce solo un decadimento quadratico). Tuttavia, la disuguaglianza di Bernstein è valida sotto l'ipotesi che le variabili considerate siano limitate (ipotesi non necessaria per Chebyshev).

Voci correlate

• Sergei Natanovic Bernstein
• Disuguaglianza di Chebyshev
• Disuguaglianza di Hoeffding

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