Disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
bussola Disambiguazione – Se stai cercando la disuguaglianza omonima riguardante la teoria della probabilità, vedi Disuguaglianza di Čebyšëv.

In matematica, la disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma, che porta il nome di Pafnutij L'vovič Čebyšëv, stabilisce che se:

a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \quad ; \quad b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n

allora:

n \sum_{k=1}^n a_kb_k \geq \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k\right)

In modo simile, se:

a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \quad ; \quad b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n

allora:

n \sum_{k=1}^n a_kb_k \leq \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k\right)

o meglio:

\frac {(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)} {n} \geq \frac {(a_1 + \cdots + a_n)}{n} \cdot \frac {(b_1 + \cdots + b_n)}{n}

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma segue dalla disuguaglianza di riarrangiamento. Si supponga di avere:

a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \quad ; \quad b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n

per la disuguaglianza di riarrangiamento si ha che:

a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n

è il valore massimo che assume il prodotto scalare fra le due sequenze. Dunque:

a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n = a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n
a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_1
a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_3 + a_2 b_4 + \cdots + a_n b_2
\cdots
a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_n + \cdots + a_n b_{n-1}

sommando tutte queste disuguaglianze si ottiene:

n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geq (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n)

e dividendo per n^2:

\frac {(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)} {n} \geq \frac {(a_1 + \cdots + a_n)}{n} \cdot \frac {(b_1 + \cdots + b_n)}{n}

Disuguaglianza sulle funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Esiste inoltre una versione continua della disuguaglianza di Čebyšëv: se f e g sono funzioni reali ed integrabili in [0,1], entrambe crescenti o entrambe decrescenti, allora:

 \int fg \geq \int f \int g

Questo può essere generalizzato ad integrali in qualsiasi altro spazio, come anche a prodotti numerabili di integrali.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 1092, 2000.
  • (EN) G. H. Hardy, J. E. Littlewood e G. Pólya, Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge, Cambridge University Press, 1988, ISBN 0-521-35880-9, MR 0944909.
  • (EN) Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; and Pólya, G. Inequalities, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 43-44, 1988.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica