Distribuzione logaritmica

Distribuzione logaritmica
Funzione di probabilità discreta
Funzione di ripartizione
Parametri	$p\in]0,1[\$
Supporto	$\mathbb{N}\setminus\{0\}=\{1,2,3,...\}$
Funzione di densità	$\frac{1}{\log\frac{1}{1-p}}\frac{p^n}{n}$
Funzione di ripartizione	$1+\frac{\Beta_b(n+1,0)}{\ln(1-p)}$ con $\Beta_p$ la funzione Beta incompleta
Valore atteso	$\frac{1}{\log\frac{1}{1-p}}\frac{p}{1-p}$
Mediana
Moda	$1\$
Varianza	$-p\frac{p+\log(1-p)}{(1-p)^2(\log(1-p))^2}$
Skewness
Curtosi
Entropia
Funz. Gen. dei Momenti	$\frac{\log(1-pe^t)}{\log(1-p)}$
Funz. Caratteristica	$\frac{\log(1-pe^{it})}{\log(1-p)}$

In teoria delle probabilità la distribuzione logaritmica (o della serie logaritmica) è una distribuzione di probabilità discreta sui numeri interi positivi che esprime lo sviluppo in serie di Taylor del logaritmo naturale,

$\log(1-x)=-\Big(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...\Big)$.

La distribuzione venne descritta da Ronald Fisher in uno studio sulla genetica delle popolazioni.

Definizione

La distribuzione logaritmica di parametro $p\in]0,1[$ attribuisce le probabilità

$P(n)=\frac{1}{-\log(1-p)}\frac{p^n}{n}=\frac{1}{\log{\frac{1}{1-p}}}\frac{p^n}{n}$ per $n>0$.

Siccome la serie di Taylor (o di Maclaurin) di $-\log(1-x)$ ha raggio di convergenza 1, la probabilità totale è 1.

La funzione di ripartizione è

$F(n)=1+\frac{\Beta_p(n+1,0)}{\log(1-p)}$,

dove $\Beta_p$ è la funzione Beta incompleta.

Caratteristiche

Una variabile aleatoria $X$ con distribuzione logaritmica di parametro $p$ ha

• momenti semplici

$\mu_k=E[X^k]=\frac{1}{\log\frac{1}{1-p}}\sum_{n>0}n^{k-1}p^k$,

tramite i quali si possono esprimere

• la speranza matematica

$E[X]=\frac{1}{\log\frac{1}{1-p}}\frac{p}{1-p}$

• e la varianza

$\text{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2=\frac{1}{-(1-p)^2\log(1-p)}-\Big(\frac{p}{-(1-p)\log(1-p)}\Big)^2$.

La funzione generatrice dei momenti è

$g_X(t)=E[e^{tX}]=\frac{1}{-\log(1-p)}\sum_{n>0}\frac{(pe^t)^n}{n}=\frac{\log(1-pe^t)}{\log(1-p)}$.

Inoltre siccome la funzione $p^n/n$ è decrescente, $P(n)$ assume il valore massimo in 1, la moda.

Altre distribuzioni

Formula ricorsiva

La distribuzione logaritmica di parametro $p$ soddisfa la ricorsione di Panjer

$P(n)=(p+\tfrac{-p}{n})P(n-1)$ per $n>1$

ma è limitata al supporto $\mathbb{N}\setminus\{0\}$. (La distribuzione di Panjer con gli stessi parametri definisce una distribuzione degenere, con $P(1)=(p-p)P(0)=0$.)

Distribuzione composta di Poisson

Se la variabile aleatoria $N$ segue una distribuzione di Poisson allora la somma di $N$ variabili aleatorie indipendenti $X_1,...,X_N$ con una stessa distribuzione logaritmica,

$X_1+...+X_N$,

segue una distribuzione di Pascal (o binomiale negativa).

In altri termini, la distribuzione di Pascal è una distribuzione composta di Poisson della distribuzione logaritmica.

Voci correlate

• Distribuzione composta di Poisson
• Distribuzione di Panjer
• Logaritmo
• Serie di Taylor
• Sviluppo in serie

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