Distribuzione logaritmica

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Distribuzione logaritmica
Funzione di probabilità discreta
Distribuzione di probabilità
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
Parametri p\in]0,1[\
Supporto \mathbb{N}\setminus\{0\}=\{1,2,3,...\}
Funzione di densità \frac{1}{\log\frac{1}{1-p}}\frac{p^n}{n}
Funzione di ripartizione 1+\frac{\Beta_b(n+1,0)}{\ln(1-p)}
con \Beta_p la funzione Beta incompleta
Valore atteso \frac{1}{\log\frac{1}{1-p}}\frac{p}{1-p}
Mediana
Moda 1\
Varianza -p\frac{p+\log(1-p)}{(1-p)^2(\log(1-p))^2}
Indice di asimmetria
Curtosi
Entropia
Funzione generatrice dei momenti \frac{\log(1-pe^t)}{\log(1-p)}
Funzione caratteristica \frac{\log(1-pe^{it})}{\log(1-p)}

In teoria delle probabilità la distribuzione logaritmica (o della serie logaritmica) è una distribuzione di probabilità discreta sui numeri interi positivi che esprime lo sviluppo in serie di Taylor del logaritmo naturale,

\log(1-x)=-\Big(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...\Big).

La distribuzione venne descritta da Ronald Fisher in uno studio sulla genetica delle popolazioni.[1]

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La distribuzione logaritmica di parametro p\in]0,1[ attribuisce le probabilità

P(n)=\frac{1}{-\log(1-p)}\frac{p^n}{n}=\frac{1}{\log{\frac{1}{1-p}}}\frac{p^n}{n} per n>0.

Siccome la serie di Taylor (o di Maclaurin) di -\log(1-x) ha raggio di convergenza 1, la probabilità totale è 1.

La funzione di ripartizione è

F(n)=1+\frac{\Beta_p(n+1,0)}{\log(1-p)},

dove \Beta_p è la funzione Beta incompleta.

Caratteristiche[modifica | modifica sorgente]

Una variabile aleatoria X con distribuzione logaritmica di parametro p ha

\mu_k=E[X^k]=\frac{1}{\log\frac{1}{1-p}}\sum_{n>0}n^{k-1}p^k,

tramite i quali si possono esprimere

E[X]=\frac{1}{\log\frac{1}{1-p}}\frac{p}{1-p}
\text{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2=\frac{1}{-(1-p)^2\log(1-p)}-\Big(\frac{p}{-(1-p)\log(1-p)}\Big)^2.

La funzione generatrice dei momenti è

g_X(t)=E[e^{tX}]=\frac{1}{-\log(1-p)}\sum_{n>0}\frac{(pe^t)^n}{n}=\frac{\log(1-pe^t)}{\log(1-p)}.

Inoltre siccome la funzione p^n/n è decrescente, P(n) assume il valore massimo in 1, la moda.

Altre distribuzioni[modifica | modifica sorgente]

Formula ricorsiva[modifica | modifica sorgente]

La distribuzione logaritmica di parametro p soddisfa la ricorsione di Panjer

P(n)=(p+\tfrac{-p}{n})P(n-1) per n>1

ma è limitata al supporto \mathbb{N}\setminus\{0\}. (La distribuzione di Panjer con gli stessi parametri definisce una distribuzione degenere, con P(1)=(p-p)P(0)=0.)

Distribuzione composta di Poisson[modifica | modifica sorgente]

Se la variabile aleatoria N segue una distribuzione di Poisson allora la somma di N variabili aleatorie indipendenti X_1,...,X_N con una stessa distribuzione logaritmica,

X_1+...+X_N,

segue una distribuzione di Pascal (o binomiale negativa).

In altri termini, la distribuzione di Pascal è una distribuzione composta di Poisson della distribuzione logaritmica.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ R.A. Fisher, A.S. Corbet e C.B. Williams, The Relation Between the Number of Species and the Number of Individuals in a Random Sample of an Animal Population in Journal of Animal Ecology, vol. 12, nº 1, 1943, pp. 42–58, JSTOR 1411.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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