Distribuzione di Skellam

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Distribuzione di Skellam
Funzione di distribuzione discreta
Distribuzione di probabilità
Nell'immagine i parametri sono stati indicati con la lettera \mu anziché con la lettera \lambda
Funzione di ripartizione
Parametri \lambda_1,\lambda_2>0\
Supporto \mathbb{Z}
Funzione di densità e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^\frac{n}{2}I_{|n|}(2\sqrt{\lambda_1\lambda_2})
Funzione di ripartizione
Valore atteso \lambda_1-\lambda_2
Mediana
Moda
Varianza \lambda_1+\lambda_2\
Indice di asimmetria \frac{\lambda_1-\lambda_2}{(\lambda_1+\lambda_2)^\frac{3}{2}}
Curtosi \frac{1}{\lambda_1+\lambda_2}
Entropia
Funzione generatrice dei momenti e^{\lambda_1e^t+\lambda_2e^{-t}-(\lambda_1+\lambda_2)}
Funzione caratteristica e^{\lambda_1e^{it}+\lambda_2e^{-it}-(\lambda_1+\lambda_2)}

In teoria delle probabilità la distribuzione di Skellam è una distribuzione di probabilità che governa la differenza tra due variabili aleatorie indipendenti aventi entrambe una distribuzione di Poisson. Prende il nome da John Gordon Skellam.[1]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione di Skellam di parametri (\lambda_1,\lambda_2) è la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria

Y=X_1-X_2

definita da due variabili aleatorie indipendenti X_1 e X_2 che seguono rispettivamente le distribuzioni di Poisson di parametri \lambda_1 e \lambda_2.

La distribuzione di probabilità di Y=X_1-X_2 è

P(n)=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^\frac{n}{2}I_{|n|}(2\sqrt{\lambda_1\lambda_2}),

dove I_\alpha è la funzione di Bessel di primo tipo modificata

Questa distribuzione si ricava dalle distribuzioni P(X_i=n_i)=e^{-\lambda_i}\lambda_i^n/n!, esprimendo

 P(Y=n) =  \sum_{n_1-n_2=n}P(X_1=n_1)P(X_2=n_2) = \frac{1}{e^{\lambda_1+\lambda_2}}\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^\frac{n}{2}\sum\frac{\lambda_1^{n_1-\frac{n}{2}}\lambda_2^{n_2+\frac{n}{2}}}{n_1!n_2!};

mostrando che \textstyle \frac{P(Y=n)}{P(Y=-n)}=\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^n si ottiene la formula per la distribuzione di Y.

Nel caso particolare in cui entrambe le variabili X_1 e X_2 seguano la stessa distribuzione di probabilità \mathbb{P}(\lambda), la distribuzione diventa simmetrica e la distribuzione è[2]

P(n)=e^{-2\lambda}I_{|k|}(2\lambda).

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

La variabile aleatoria Y=X_1-X_2 con distribuzionedi Skellam di parametri (\lambda_1,\lambda_2) ha

E[Y]=E[X_1]-E[X_2]=\lambda_1-\lambda_2\
\phi_Y(t)=\phi_{X_1}(t)\phi_{X_2}(-t)=e^{\lambda_1e^{it}+\lambda_2e^{-it}-(\lambda_1+\lambda_2)}
g_Y(t)=g_{X_1}(t)g_{X_2}(-t)=e^{\lambda_1e^t+\lambda_2e^{-t}-(\lambda_1+\lambda_2)}

Prendendo

s=\lambda_1+\lambda_2 e d=\lambda_1+\lambda_2,

dalla funzione generatrice dei momenti si ricavano i primi momenti semplici

\mu_1(Y)=d, \mu_2(Y)=d^2+s, \mu_3(Y)=d^3+3ds+d, \mu_4(Y)=d^4+6d^2s+4d^2+3s^2+s

e i primi momenti centrali

m_2(Y)=s, m_3(Y)=d, m_4(Y)=3s^2+s;

in particolare si trovano la varianza

\text{Var}(Y)=m_2(Y)=s=\lambda_1+\lambda_2\

e gli indici di asimmetria e curtosi

\gamma_1=\frac{m_3}{m_2^{3/2}}=\frac{d}{s^{3/2}}=\frac{\lambda_1-\lambda_2}{(\lambda_1+\lambda_2)^\frac{3}{2}},
\gamma_2=\frac{m_4}{m_2^2}-3=\frac{3s^2+s}{s^2}-3=\frac{1}{s}=(\lambda_1+\lambda_2)^{-1}.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione di Poisson può essere considerata un caso particolare della distribuzione di Skellam, con parametri (\lambda,0); in altri termini, considerando la distribuzione degenere ({P(X_2=0)=1}) un caso particolare di distribuzione di Poisson con parametro 0, la variabile aleatoria Y=X_1-X_2=X_1 è differenza di due variabili aleatorie indipendenti aventi distribuzioni di Poisson.

La somma e la differenza di due o più variabili aleatorie indipendenti che seguono distribuzioni di Skellam (o di Poisson) seguono entrambe una distribuzione di Skellam. Questa proprietà segue dalla definizione di distribuzione di Skellam e dall'analoga proprietà per la somma di due o più variabili aleatorie indipendenti con distribuzione di Poisson. Più precisamente, se X=X_1-X_2 e Y=Y_1-Y_2 seguono rispettivamante le distribuzioni di Skellam di parametri (\lambda_1,\lambda_2) e (\mu_1,\mu_2), allora

-X=X_2-X_1 segue la distribuzione di Skellam di parametri (\lambda_2,\lambda_1),
X+Y=(X_1+Y_1)-(X_2+Y_2) segue la distribuzione di Skellam di parametri (\lambda_1+\mu_1,\lambda_2+\mu_2),
X-Y=(X_1+Y_2)-(X_2+Y_1) segue la distribuzione di Skellam di parametri (\lambda_1+\mu_2,\lambda_2+\mu_1),


Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) J. G. Skellam, The Frequency Distribution of the Difference Between Two Poisson Variates Belonging to Different Populations (abstract) in Journal of the Royal Statistical Society, vol. 109, nº 3, 1946, p. 296.
  2. ^ (EN) J. O. Irwin, The Frequency Distribution of the Difference between Two Independent Variates following the same Poisson Distribution (abstract) in Journal of the Royal Statistical Society, vol. 100, nº 3, 1937, pp. 415-416.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica