Distribuzione di Cantor

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La funzione di Cantor

In teoria della probabilità la distribuzione di Cantor è una distribuzione di probabilità la cui funzione di ripartizione è la funzione di Cantor. Essa è una distribuzione singolare, o continua singolare: non è né assolutamente continuadiscreta.

Se consideriamo la costruzione dell'insieme di Cantor, riassunta nell'immagine sotto:

C_{0} = [0,1]
C_{1} = [0,1/3]\bigcup[2/3,1]
C_{2} = [0,1/9]\bigcup[2/9,1/3]\bigcup[2/3,7/9]\bigcup[8/9,1]
C_{3} = [0,1/27]\bigcup[2/27,1/9]\bigcup[2/9,7/27]\bigcup[8/27,1/3]
\bigcup[2/3,19/27]\bigcup[20/27,7/9]\bigcup[8/9,25/27]\bigcup[26/27,1]
\vdots


L'insieme di Cantor

abbiamo che una variabile casuale con la distribuzione di Cantor è l'unica tale che, per ogni n, essa è distribuita uniformemente sul singolo insieme C_n, cioè su ogni riga dell'immagine sotto la probabilità di un singolo intervallino è 1 / 2^n.

Momenti[modifica | modifica wikitesto]

  • E(X)={1\over2}

La varianza si ottiene dalla legge della varianza totale: se consideriamo Y come l'indicatore dell'evento "esce testa in un lancio di moneta"

\operatorname{var}(X) = \operatorname{E}(\operatorname{var}(X\mid Y))+\operatorname{var}(\operatorname{E}(X\mid Y))
=\frac{1}{9}\operatorname{var}(X)+\operatorname{var}\left\{\begin{matrix} P(1/6) = 1/2 \\ P(5/6)= 1/2\end{matrix}\right\}=\frac{1}{9}\operatorname{var}(X)+\frac{1}{9}.

Da cui otteniamo

  • \operatorname{var}(X)= {1 \over 8}

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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