Distribuzione T-quadrato di Hotelling

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La distribuzione T-quadrato di Hotelling (chiamata così secondo Harold Hotelling) è una generalizzazione della distribuzione t di Student utilizzata nei test di ipotesi multivariati.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La statistica T-quadrato di Hotelling è definita come segue:

Siano

{\mathbf x}_1,\dots,{\mathbf x}_n

p×1 vettori colonna di numeri reali e

\overline{\mathbf x}=(\mathbf{x}_1+\cdots+\mathbf{x}_n)/n

le loro medie. Sia

{\mathbf W}=\sum_{i=1}^n (\mathbf{x}_i-\overline{\mathbf x})(\mathbf{x}_i-\overline{\mathbf x})'/(n-1)

la matrice non negativa data dalla loro varianza (la trasposta di una matrice M viene indicata com M').

Sia μ un vettore colonna p\times 1 noto (in applicazione dei valori medi ipotizzati per la popolazione). La statistica T-quadrato di Hotelling è data da

T^2=(\overline{\mathbf x}-{\mathbf\mu})'{\mathbf W}^{-1}(\overline{\mathbf x}-{\mathbf\mu}).

Risultati teorici[modifica | modifica wikitesto]

Se \mathbf{x}\sim N_p(\mu,{\mathbf V}) è una variabile casuale con una distribuzione normale multivariata, {\mathbf Q}\sim W_p(m,{\mathbf V}) è distribuita come una variabile casuale di Wishart, e sia {\mathbf x} che {\mathbf Q} sono indipendenti, allora T^2 è distribuita come una variabile casuale T-quadrato di Hotelling.

Si può dimostrare che se {\mathbf x}_1,\dots,{\mathbf x}_n\sim N_p(\mu,{\mathbf V}), sono indipendenti e sia \overline{\mathbf x} che {\mathbf W} sono definiti come sopra allora {\mathbf W} è distribuita come una variabile casuale di Wishart con m=n-1 gradi di libertà ed è indipendente da \overline{\mathbf x} e

\overline{\mathbf x}\sim N_p(\mu,V/n).

Inoltre, se entrambe le distribuzioni sono non-singolari, si può dimostrare che

\frac{m-p+1}{pm}T^2\sim F_{p,m-p+1}

dove F è la variabile casuale F di Snedecor.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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