Distribuzione Gamma inversa

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In teoria delle probabilità la distribuzione casuale gamma inversa è una distribuzione di probabilità, dipendendete da due parametri α e β maggiori di 0, definita sui numeri reali positivi. La sua funzione di densità di probabilità è

Inverse gamma pdf.png

f(x; \alpha, \beta)
=
\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}
\frac{e^{-\frac{\beta}{x}}}{x^{\alpha + 1}}

La sua cumulata è

F(x; \alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha,\beta/x)}{\Gamma(\alpha)}

dove \Gamma(\alpha,\beta/x) è la funzione gamma incompleta e \Gamma(\alpha) la funzione gamma.

Inverse gamma cdf.png

Ha valore atteso

\frac{\beta}{\alpha-1} ... per α>1

Moda

\frac{\beta}{\alpha+1}

varianza

\frac{\beta^2}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)} ... per α>2

Distribuzioni collegate[modifica | modifica sorgente]

Derivazione della distribuzione Gamma[modifica | modifica sorgente]

La funzione di densità di probabilità della variabile casuale Gamma è data da

 f(x) = x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)}

e definisce la trasformazione Y = g(X) = \frac{1}{X} allora la risultante trasformazione


f_Y(y) = f_X \left( g^{-1}(y) \right) \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right|

=
\frac{1}{\theta^k \Gamma(k)}
\left(
 \frac{1}{y}
\right)^{k-1}
\exp
 \left(
  \frac{-1}{\theta y}
 \right)
\frac{1}{y^2}

=
\frac{1}{\theta^k \Gamma(k)}
\left(
 \frac{1}{y}
\right)^{k+1}
\exp
 \left(
  \frac{-1}{\theta y}
 \right)

=
\frac{1}{\theta^k \Gamma(k)}
y^{-k-1}
\exp
 \left(
  \frac{-1}{\theta y}
 \right)

Sostituendo k con \alpha; \theta^{-1} con \beta; e y con x risulta la fdp della Gamma Inversa di cui sopra


f(x)
=
\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}
x^{-\alpha-1}
\exp
 \left(
  \frac{-\beta}{x}
 \right)

Vedasi anche[modifica | modifica sorgente]

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