Distanza di Hausdorff

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In geometria, la distanza di Hausdorff è una particolare definizione di distanza introdotta da Felix Hausdorff per misurare la distanza tra due sottoinsiemi di uno spazio metrico.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Componenti per il calcolo della Distanza di Hausdorff fra la linea verde X e quella blu Y.

Dato uno spazio metrico X e due sottoinsiemi A,B \subseteq X definiamo qualche quantità preliminare: si dice distanza di un punto dall'insieme A la quantità

d(x,A):=\inf_{y \in A}d(x,y).

Si definisce eccedenza di A su B la quantità

e(A,B):=\sup_{x \in A}d(x,B).

Si definisce dunque distanza di Hausdorff tra A e B la quantità

d(A,B):=\mbox{max} \{e(A,B), e(B,A)\}

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La distanza di Hausdorff è una funzione d:P(X) \times P(X) \to \R_0^+. Essa soddisfa le seguenti proprietà:

  • se A=B allora d(A,B)=0
  • d(A,B)=d(B,A)
  • d(A,B) \leq d(A,C)+d(C,B)

Tali proprietà la rendono una pseudometrica sull'insieme delle parti di X. Essa soddisfa anche l'ultima proprietà di una metrica (cioè d(A,B)=0 implica A=B) se A e B sono chiusi.

Campi applicativi[modifica | modifica wikitesto]

La distanza di Hausdorff consente di definire un concetto di continuità per multifunzioni, cioè per funzioni F:A \to P(B). Se si munisce P(B) della distanza di Hausdorff ed A è uno spazio quantomeno topologico, è naturale dire F continua in x_0 se

per ogni \epsilon > 0 esiste un intorno di x_0 tale che per ogni x in quell'intorno è d(F(x), F(x_0))< \epsilon.

Al di fuori della matematica, la distanza di Hausdorff trova utilizzo in svariati campi di ricerca tra cui la computer vision e la bioinformatica. Sovente si applicano varie metriche onde trovare una stima affidabile dell'errore.

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica