Disuguaglianza

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In matematica una disuguaglianza (o diseguaglianza) è una relazione d'ordine totale sull'insieme dei numeri reali o su un suo sottoinsieme.

Può essere intesa in senso largo o in senso stretto, a seconda che la relazione d'ordine sia riflessiva o meno. Nei due casi vengono utilizzate le coppie di simboli \geqslant e \leqslant, oppure > e <.

Gli stessi simboli possono essere utilizzati per "confrontare" due funzioni a valori reali.

Notazione[modifica | modifica sorgente]

La disuguaglianza in senso largo si indica con le scritture equivalenti a\geqslant b e b\leqslant a, che si leggono "a è maggiore o uguale a b" e "b è minore o uguale ad a".

La disuguaglianza in senso stretto si indica invece le scritture equivalenti a>b e b<a, lette "a è maggiore di b" e "b è minore di a".

Questa notazione può essere confusa con la notazione graficamente simile ab (o ba), utilizzata con due diversi significati: sia per indicare che un numero è sufficientemente più grande di un altro ("a è molto maggiore di b"), sia per indicare che una funzione è asintoticamente più grande di un'altra ("a domina b"). In entrambi i casi non è una disuguaglianza, ma solamente una relazione d'ordine parziale, ovvero può non permettere di confrontare tra loro due distinti elementi dell'insieme.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Ordine totale[modifica | modifica sorgente]

Se la disuguaglianza è stretta:

Ogni coppia di elementi distinti è confrontabile, ovvero: \forall a,b, a \neq b, si verifica una e una sola relazione tra: a < b e b < a.

Se la disuguaglianza è larga:

Ogni coppia di elementi è confrontabile, ovvero: \forall a, b si verifica una relazione tra: a\leqslant b e b\leqslant a.

Antisimmetria e tricotomia[modifica | modifica sorgente]

Se la disuguaglianza è stretta, allora vale la tricotomia:

\forall a, b vale una e una sola delle tre relazioni a>b, a<b, a=b.

Se la disuguaglianza è larga, allora vale l'antisimmetria:

\forall a, b \qquad a \leqslant b \quad \text{e} \quad b\leqslant a \implies a=b.

Somma e sottrazione[modifica | modifica sorgente]

Le disuguaglianze vengono preservate se ad entrambi i termini viene aggiunto (o sottratto) uno stesso numero:

  • per ogni tre numeri reali a, b e c sono equivalenti: a > b, a + c > b + c, ac > bc.

(Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.)

Questa proprietà indica che confrontare due numeri a e b è equivalente a verificare se la loro differenza a-b è positiva o negativa, ovvero a confrontare a-b e 0. Inoltre a>0 equivale a -a<0, così come a>b equivale a -a<-b.

Questa proprietà in generale descrive i gruppi ordinati.

Moltiplicazione e divisione[modifica | modifica sorgente]

Le disuguaglianze vengono preservate se entrambi i termini vengono moltiplicati (o divisi) per uno stesso numero strettamente positivo. Moltiplicando (o dividendo) per un numero strettamente negativo, invece, le disuguaglianze si scambiano:

  • per ogni tre numeri reali a', b, c
  • per ogni terna di numeri reali a, b e c,
    • se c>0 allora sono equivalenti: a>b, ac>bc, a/c>b/c;
    • se c<0 allora sono equivalenti: a>b, ac<bc, a/c<b/c.

(Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.)

Per la precedente proprietà, la seconda riga equivale alla prima, scrivendo -c al posto di c.

Queste proprietà in generale descrivono gli anelli ordinati e i campi ordinati (o campi reali).

Funzioni monotone[modifica | modifica sorgente]

Le disuguaglianze sono alla base della definizione delle funzioni monotòne: le funzioni che conservano (o invertono) l'ordinamento dei numeri reali, quindi le disuguaglianze, sono funzioni monotone crescenti (o decrescenti).
In particolare, le funzioni monotone in senso stretto "mantengono" le disuguaglianze in senso stretto; una funzione monotona in senso largo, invece, fornisce solamente disuguaglianze in senso largo.

Disequazione[modifica | modifica sorgente]

A volte si abusa della notazione per la disuguaglianza, scrivendo f>0 anche quando f è una funzione a valori reali. Con questa notazione si intende che f assume solo valori strettamente positivi, ovvero che f(x)>0 per ogni x nel dominio di f. Nello stesso modo, f>g indica che f-g>0, ovvero che f(x)>g(x) per ogni x nel (comune) dominio di f e g. Lo stesso capita con la disuguaglianza in senso largo.

Quando il dominio delle funzioni non viene specificato, si parla di disequazione.

Disuguaglianze comuni[modifica | modifica sorgente]

Alcune "famose" disuguaglianze in matematica sono elencate di seguito.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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