Discussione:Ultimo teorema di Fermat

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[modifica] Dimostrazione di Ossicini

Mi sembra strano che nell'articolo italiano non si faccia riferimento alla dimostrazione "settecentesca" proposta dal matematico "dilettante" italiano Andrea Ossicini (purtroppo il link alla sua dimostrazione non funziona più, credo che sia stata cancellata). Ho fatto delle ricerche su Internet e non ho trovato nè l'ufficiale riconoscimento della dimostrazione di Ossicini come corretta nè un suo errore. Ci sono diverse critiche, ma sono perlopiù basate sulla persona (i.e. appare improbabile che un dilettante sia riusciuto la dove i più grandi matematici hanno fallito) ma nessuna di carattere prettamente matematico.

Questo articolo riporta delle osservazioni sulla dimostrazione di Ossicini: http://www.matematicamente.it/numeri/ultimo%20teorema%20di%20fermat.pdf

Mentre questa pubblicazione: http://www.rudimathematici.com/archivio/091.pdf#search=%22ossicini%20fermat%22 ne parla in maniera seria cita un'altra pubblicazione dello stesso Ossicini su un sito yugoslavo.. cito testualmente.. Il Dr.Oss è noto non solo in rete per aver pubblicato una dimostrazione “euleriana” dell’Ultimo Teorema di Fermat, il suo nome fuor d’allonimo è Andrea Ossicini, e la sua funzione speciale SHIN – necessaria per l’approccio alla sua dimostrazione euleriana dell’UTF, ha ormai raggiunto la dignità di pubblicazione accademica: http://elib.mi.sanu.ac.yu/pages/browse_issue.php?PHPSESSID=e6e2115eaa43e86b95ba84f562650822&cs=0000 02&sv=00006

Non sono un matematico e quindi non sono in grado nè di valutare la dimostrazione di Ossicini, ma sarei contento se qualche esperto lo facesse. Grazie



[modifica] Aleksandr Ilin

Leggo ora su Repubblica che il matematico russo Aleksandr Ilin ha annunciato una nuova dimostrazione del teorema di Fermat che sarebbe enormemente più breve di quella fatta da Wiles (si dice che sia scrivibile in tre righe circa). Purtroppo direi che siamo ancora al livello di voci incontrollate ma magari vale la pena di monitorare il proseguimento della faccenda per vedere se la notizia corrisponde a realtà (ed eventualmente integrare nell'articolo). --J B 17:10, Ago 22, 2005 (CEST)

Ho rimosso il seguente testo:

Il 22 agosto 2005 uno studioso russo, Aleksandr Ilin sembra abbia trovato una nuova e molto più semplice (tre righe) dimostrazione del teorema. La dimostrazione è stata pubblicata in tale data dal periodico moscovita "Novaya Gazeta".
Aleksandr Ilin è professore di matematica applicata all'università di Omsk (Siberia occidentale) ed esperto di balistica. In base alle regole della comunità scientifica internazionale la dimostrazione potrà essere considerata probante solo due anni dopo la pubblicazione, se in questo lasso di tempo nessuno riuscirà a confutarla. Per avere l'articolo completo [[1]]

Repubblica non è una fonte attendibile in questo ambito, e non sarebbe (se non fosse per il NPOV direi non è...) la prima bufala che compare lì. Finché non ci sono conferme più autorevoli (che so, MathWorld, per esempio), non è il caso di tenere un'informazione probabilmente sbagliata. Peraltro ho visto una pagina russa contenente la presunta dimostrazione (qui) e i pochi simboli matematici che vedo mi sembrano solo avvalorare l'ipotesi della bufala. E' chiaro che se la "dimostrazione" dovesse essere confermata da una fonte autorevole (cosa su cui potrei scommettere che non accadrà) il testo sarà reinserito. Salvatore Ingala (dimmelo) 18:56, Ago 22, 2005 (CEST)


[modifica] Questa ci sarebbe stata, in quello stretto margine...

La dimostrazione di Alexandr Il'in è molto semplice, ma presenta un errore notevole (schivabile?) alla fine; fa uso della semplice trigonometria da scuole superiori. Ecco in cosa consiste:

Sappiamo per il Teorema di Pitagora che \emph x^2 + y^2 = r^2 "restituisce" una r intera per ogni valore intero di x e y. Definiamo z come \emph z^n = x^n + y^n, per assurdo.

Se esistesse una z n>2 \Rightarrow z<r. Se volessimo trovare, ad esempio, r3, avremmo \emph r^3 = (x^2 + y^2)\cdot r = x^2\cdot r + y^2\cdot r; verifichiamo che x, y e r siano lati di un triangolo rettangolo (x e y cateti, r ipotenusa) e come tali sono valide le formule trigonometriche \emph x = r\cdot\sin A;\ y = r\cdot\cos B, che portano alla formula generalizzata \emph r^n = r^n\cdot (\sin ^2A +\cos ^2A) che sappiamo essere vera.

E qui arriva l'errore...

Da quanto detto, si ottiene \emph z^n = x^n + y^n = r^n \cdot(\sin ^nA +\cos ^nA);

invece il russo calcola \emph z^n = x^n + y^n = r^n \cdot (\sin A + \cos A) da cui \emph z = r \cdot \sqrt[n]{\sin A +\cos A}; per cui se z < r per n > 2, (\sin A +\cos A) < 1,\ \forall n > 2. Da cui, a sua volta, si ottiene (sempre perseverando nell'errore; qualche volta fa bene...)

60° < A < 90° e lo stesso si può dire dell'altro angolo. Pertanto la loro somma (A + B) è maggiore di 90°, il che non è possibile. L'unica uscita è che (sen A + cos A) non sia minore di 1, il che ci porta all'assurdo.

E' un peccato, perché era una buona idea, se non fosse stato per una svista così grossa... magari la strada è giusta. Ma ritengo che qui siamo tutti bibliotecari, e non è qui che dobbiamo scoprire queste cose, ma nel nostro privato. --HT 18:37, Ago 24, 2005 (CEST)

Per un confronto vedi anche http://www.matematicaeliberaricerca.com/fermat_russo.htm[2]

Aggiornamento e aggiunta di un commento da parte di un nuovo autore sulla dimostrazione di Ilin. [3]

lascia perplessi che un matematico pubblichi una dimostrazione commettendo un errore di calcolo, a dire poco da terza media,pur avendo trovato una strada che può essere quella giusta.fatto sta che no nmi è chiaro è perchè questo errore invalida la dimostrazione.

anche il fattore radice n-esima(sin^n(alpha) + cos^n(alpha)) è un numero non intero.Dato un triangolo rettangolo, gli altri due angoli sono compresi fra 0 e 180° esclusi.è noto che sen(alpha) + cos(alpha) = 1 soltanto per alpha=k(pi greca/2) con k intero.infatti de ve essere cos(alpha) + sen(alpha) = 1 = sen^2(alpha) + cos^2(alpha), e un numero è uguale al suo quadrato soltanto se è 0 oppure 1, il che avviene per detti valori di alpha.

ma in un trinagolo rettangolo non posso avere nè un angolo nullo nè un secondo angolo retto nè uno piatto (dovendo essere la somma dei 3 pari a 180°)..perciò per n =1 l'euqwazione non ammette mai soluzioni intere.

ciò rende sbagliata l'intera discussione poichè, al contrario, esistono infiniti numeri interi la cui somma (ad esponente n = 1) è ancora un intero.seguendo questa strada il teorema di Fermat non vale per n =1, mentre al contrario il suo enunciato afferma che è sempre valido per n<2. comunque l'importante è che questa strada sia utile per dimostrare la parte meno intuitiva del teorema, che non ci sono soluzioni per n>2; che esistono per n=1..basta contare, è meno rilevante trovare una dimostrazione.

abbiamo discusso cos^n(alpha) + sen^n(alpha) per n = 1, ora discutiamo per n = 0 e poi per n =2:

n = 0: otteniamo z^n = r^n * (cos^0(alpha)+ sen^0(alpha)) = r^n * 2, che è intero, ma non è quadrato perfetto. non è ottenibile come potenza di un z intero.infatti: z = r * radice n-esima(2), che è un numero irrazionale.

nota:se fosse sen(alpha) = 0 (oppure cos(alpha) = 0),elevndo a n= 0, avremmo 0^0 che è indeterminato. tale caso non si da per considerazioni geometriche, perchè un trinagolo rettangolo non può avere un secondo angolo retto nè uno piatto nè un angolo nullo..perciò non possiamo avere seni o coseni pari a zero.

discutiamo per n = 2: mentre cos^2(alpha) + sen^2(alpha) = ! per ogni valore di alpha ( la somma è il raggio che,per definzione di circonferenza goniometrica, è unitario).

per cui per n = 2 l'equazione si riduce a z = r che,senza alcuna contraddizione, ammette quindi soluzioni intere.

il teorema diventa a questo punto equivalente a dimostrare che per n>2, vale che 0< sen^n(alpha) + cos^n(alpha)<1 per ogni alpha, in modo che la radice n-esima di questo fattore non può essere intero ( equindi nemmeno il prodotto per l'intero r^n e il numero z^n).ma il caso n = 1, fa sì che forse con questa strada possiamo dimostrare che vale non ci sono soluzioni per n >2.-marco

Il fattore va messo a sistema con il campo di esistenza delle funzioni seno e coseno, che è defiunito per α reale e sulla circonferenza goniometrica 8vedi seconda relazione).perciò, deve valere che:

\left\{\begin{matrix} \alpha \in \Bbb{R} \\ sen^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1,\forall \alpha \\ cos^n(\alpha) + sen^n(\alpha) = d, d \in \mathbb{Z}\end{matrix}\right.

d può essere 0, 1, 2. Prima ancora è opportuno vedere il caso più generale di un sistema nelle incognite x e y reali, del tipo:

\left\{\begin{matrix}X^2 + Y^2 = 1\\ X^n + Y^n = d\end{matrix}\right.

Discutiamo per n qualunque:

il fattore cosn(α) + senn(α)è intero se è 0, 1 oppure 2. Essendo 1 e 0 gli unici valori interi di seno e coseno, la loro somma intera quando è 0 oppure 1 o 2. Valori differenti di seno e coseno sono frazioni comprese fra 0 e 1, la cui somma è un intero se è 1.

non esiste alcun α > per cui tale somma è pari a zero: seno e coseno hanno andamenti di crescita opposti nei 4 quadranti cartesiani. inoltre una somma nulla messa a sistema con la condizione sen2(α) + cos2(α) = 1, non ha soluzioni reali ( e α è definito come numero reale).

Essendo poi z = r* \sqrt(sen^n(\alpha) + cos^n(\alpha)), se il fattore è pari a 2, la radice n-esima di 2 e r*sqrt(2) = z sono irrazionali.perciò il valore intero 2 non interessa per rendere intera l'espressione e confutare Fermat.

Discutiamo quando è uguale a cosn(α) + senn(α) = 1:

1) per n = 0, non esiste alcun valore di alpha cosn(α) + senn(α) = 1. Se seno o coseno si annullano, elev ando ala zero ho una forma indeterminata. Se non si annulla un termine, sempre per n = 0, la somma è cos^n(\alpha) + sen^n(\alpha) = 2, \forall \alpha . Ciò va messo a sistema con la condizione, che deve essere vera \forall \alpha, sen2(α) + cos2(α) = 1 ed è effettivamente soddisfatta \forall \alpha.

Per le considerazioni geometriche fatte nella discussione di n = 2 più sopra, non si annulla nè seno nè coseno, per cui, per n= 0, la somma è 2, \forall \alpha.

2) per n != 0, non esiste alcun valore di α tale che cosn(α) + senn(α) = 2. La somma è pari a 1 se cos^n(\alpha) = 0 \wedge sen^n(\alpha) = 1 oppure cos^n(\alpha) = 1 \wedge sen^n(\alpha) = 0</math>. Tenuto conto che il seno è zero per α = 0 + k * π e per α = π / 2 + 2k * π, mentre è il contrario per il coseno..la somma è intera per alpha pari a 0 e 90°.

Se n è pari, possiamo considerare seno e coseno pari a -1, cio somma 1 per alpha pari a 170° e 270°. Infatti, sen e cos sono pari a -1, avviene per α = 3 / 2 * π + 2k * π e α = π + 2k * π, valori per i quali il restante termine si annulla, e la somma è di nuovo 1.

Per le considerazioni geometriche fatte nella discussione di n = 2 più sopra, alpha non assume nessuno di questi valori.


[modifica] riepilogo della "dimostrazione"

[modifica] Ipotesi

  • Sia a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}

[modifica] Tesi

  • \not exists \ z \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n > 2 : z^n = a^n + b^n

[modifica] dimostrazione

  • \exists \ r \in \mathbb{Z}: r^2 = a^2 + b^2.
  • L'equazione ha qualche soluzione intera per \left\{\begin{matrix} n = 2 \\ \end{matrix}\right., se consideriamo le terne pitagoriche. Poniamo, cioè, che a, b, r sono rispetivamente i 2 cateti e l'ipotenusa di un triangolo rettangolo in cui vale il Teorema di Pitagora.

Procediamo ora per assurdo:

abbiamo altre 2 ipotesi:

  • \exists \ z \in \mathbb{Z}, z > r
  • \left\{\begin{matrix}(z , n) : z^n = a^n + b^n \\ \end{matrix}\right..

Dai calcolo del matematico russo, si arriva a:

                         \emph z^n = x^n + y^n = r^n \cdot[\sin ^n(\alpha) +\cos ^n(\alpha)].

Vale che:

[r^n \cdot(\sin ^n(\alpha) +\cos ^n(\alpha))] \in \mathbb{Z} -----> \exists \ z^n \in \mathbb{Z}.

Essendo r \in \mathbb{Z},

r^n \cdot[\sin ^n(\alpha) +\cos ^n(\alpha)] \in \mathbb{Z} ----> \cdot[\sin ^n(\alpha) +\cos ^n(\alpha)] \in \mathbb{Z}.

Infatti, prodotto e quoziente (e quindi elevamento a potenza e radice di ordine n-esimo) sono operazioni interne dell'insieme dei numeri interi e dei razionali.

Ponendo la tesi a sistema con le condizioni di esistenza delle funzioni seno e coseno: che:

\left\{\begin{matrix} sen^n(\alpha) + cos^n(\alpha) = d, d \in \mathbb{Z}\\ \alpha \in \Bbb{R}\\ 0<= sen(\alpha) <= 1, \forall \alpha\\ 0<= cos(\alpha) <= 1, \forall \alpha\\ sen^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1,\forall \alpha \\ \end{matrix}\right. --------------------> \left\{\begin{matrix}d = {0, 1, 2} \\ \end{matrix}\right.

Infatti, essendo il seno e il coseno compresi tra 0 e 1, la loro somma potrebbe assumere solamente i valori interi 0, 1 oppure 2. Per tutti gli altri valori di alpha avremmo valori della somma compresi tra questi tre.

Essendo:

\left\{\begin{matrix} k \in \mathbb{Z}\\ sen(\alpha) = 0, \alpha = k \pi \\ sen(\alpha) = 1, \alpha = {\pi \over 2} + k \pi\\ cos(\alpha) = 0, \alpha = {\pi \over 2}+ k \pi\\ cos(\alpha) = 1, \alpha = k \pi \\ \end{matrix}\right. -------> d = 1, per \alpha = k \pi \vee \alpha = {\pi \over 2}+ k \pi.

Ma se :\left\{\begin{matrix} sen^n(\alpha) + cos^n(\alpha) = d = 1 \\ \end{matrix}\right., allora :\left\{\begin{matrix} z = r \\ \end{matrix}\right., contro l'ipotesi.

[modifica] Idea intuitiva

Teorema di Lagrange
Teorema di Lagrange

[modifica] è vero che non tutti i numeri primi sono dispari...

ma il teorema di Fermat vale per gli esponenti maggiori di 2, e sicuramente tutti i numeri primi maggiori di 2 sono dispari. Quando ho visto che era stata tolta la parola "dispari" dopo "numeri primi" stavo rollbackando io, poi mi è venuto in mente il ragionamento di cui sopra. Insomma, io la parolina la toglierei! --.mau. ✉ 17:27, Set 15, 2005 (CEST)

Dire "Il teorema deve essere dimostrato per tutti i primi" significa che deve essere dimostrato per 2, 3, 5, ... Al contrario, dire "Il teorema deve essere dimostrato per tutti i primi dispari" significa che deve essere dimostrato per 3, 5, 7, ... E ciò è vero e compatibile con la limitazione agli esponenti maggiori di 2. Per questo ritengo che la parolina "dispari" non sia per nulla ridondante. --Salvatore Ingala (dimmelo) 18:20, Set 15, 2005 (CEST)
cosa vuol dire dimostrare il teorema di Fermat per n=2? --.mau. ✉ 19:30, Set 15, 2005 (CEST)
dimostrare il teorema di Fermat per n=2 e` banale, saprei farlo anche io. Visto che il teorema non prevede nulla per n=2, non c'e` nulla da dimostrare ;-)
--Lou Crazy 03:33, 28 dic 2005 (CET)
Facciamo due conti. Il teorema di Fermat va dimostrato per l'esponente pari a 4 e per gli esponenti...
...maggiori di 2 e numeri primi => 3, 5, 7, ecc.
...maggiori di 2 e numeri primi dispari => 3, 5, 7, ecc.
La parolina "dispari" è ridondante, potrebbe al limite essere utile per chi non è familiare con numeri primi e matematica --Fede (msg) 19:47, Set 15, 2005 (CEST)
Dipende, è ridondante se leggi dall'inizio e ti ricordi che n > 2, ma se inizi a leggere da quel paragrafo allora non lo è... In ogni caso penso che la leggibilità dell'articolo non ne risentirà, che dispari venga tenuto o meno, per cui non avrò da ridire se vorrete toglierlo. --Salvatore Ingala (dimmelo) 22:16, Set 15, 2005 (CEST)

Novità.- Il Dr. Bonacci ha presenato una nuova versione della dimostrazione elementare Teorema di Fermat che sembra superare le critiche mosse da autorevoli matematici. [4] http://www.matematicaeliberaricerca.com/fermat_russo_bonacci.htm

Novità (credo). E' stato pubblicato un libro sulla dimostrazione del Teorema di Fermat. L'autore il prof. Eungenio Di Salvatore afferma di essere riuscito nell'impresa. Inoltre, afferma di aver dimostrato anche la Congettura di Goldbach. Maggiori info: [5]

Non la smetteranno mai... Ma magari questo Èungenio veramente... hihi :P --Salvatore Ingala (dimmelo) 22:42, 12 feb 2006 (CET)

La dimostrazione di Ilin sembra viziata dall'inizio da un' ipotesi errata. Non si può supporre che x e y siano dati in modo tale che x^2 + y^2 = r^2, tutti numeri interi, quando è già:

x^n + y^n = z^n.non esiste una coppia di interi che può soddisfare l'equazione di Fermat per due valori diversi di n.

proviamo con una terna pitagorica: 3^2 + 4^2 = 5^2, ma 3^4 + 4^4 è diverso da 5^4. la proprietà vale per n=2 (a =3 e b=4) ,ma non per n =4.

per n = 2 ciò equivale a dire che le terne pitagoriche non hanno intersezione.

nè esiste un numero che soddisfa l'equazione di Fermat, a pari n, con due coppie diverse. ossia due coppie di interi (a, b) e (a,d) tali da soddisfare Fermat per lo stesso n.

ciò vale anche per n differenti. non eistono due coppie (a,b) e (a,d) che soddisfano Fermat per n_1 != n_2.in altre parole le coppie di interi non hanno intersezione (un numero in comune) per nessun valore di n.o in altro modo, da to un interi esiste un solo intero e una sola potenza di n per la quale soddisfano l'equazione di Fermat.

2)per a = b, si può fare questa considerazione. dato a^n + b^n = c^n, l'equazione diventa 2*a^n = c^n, ossia: radice n-esima(2) = (c / a). L'irrazionalità di sqrt(2), come è stato scritto su wikipedia, può essere facilmente generalizzata ad n qualsiasi. Se radice n-esima(2) è irrazionale, non può essere pari a (c / a) poichè definiamo numero irrazionale quello che non può essere ottenuto come rapporto fra due numeri interi. Per cui per a= b ed n qualsiasi, l'equazione di Fermat non ha soluzioni.

resterebbe da dimostrare la parte tosta, che non le ammette per a != b ed n>2.-marco

[modifica] "mirabilem"

ho rollbaccato due paragrafi aggiunti da un anonimo che, partendo dal fatto che l'annotazione di Fermat affermava che la dimostrazione da lui trovata era "mirabile", proseguiva affermando che questo doveva significare che non poteva contenere chissà quale matematica.

Il tutto dal mio punto di vista si riduce a un punto di vista originale, e quindi cassato: dubito tra l'altro che l'anonimo abbia mai visto la dimostrazione fermatiana dell'Ultimo teorema nel caso di n=4. -- .mau. ✉ 21:50, 21 giu 2007 (CEST) Soluzione del teorema di Fermat: se a^n+b^n=c^ allora a^n-c^n=-b^n, divido per b^n diverso da zero e ottengo a^n/b^n-c^n/b^n=-1, se divido a^n+b^n=c^n perc^n sempre diverso da zero ottengo a^n/c^n+b^n/c^n=1, ma 1-1=0 per cui sostituendo a^n/b^nn-c^n/b^n+a^n/c^n+b^n/c^n=0 faccio MCM e ottengo (a^nc^n-c^2n+a^nb^n+b^2n)/b^nc^n =0 metto in ordine e ottengo (a^nc^n+a^nb^n+b^2n-c^2n)/b^nc^n =0, ma b^2n-c^2n=-a^2n, sostituisco ottenendo (a^nc^n+a^nb^n-a^2n)/b^nc^n =0 divido per a^n diverso da zero e ottengo (c^n+b^n-a^n)/a^nb^nc^n =0 per N=0 cioè c^n+b^n-a^n=0 per cui a^n=b^n+c^n, sostituisco a^n nella equazione di Fermat ed ottengo c^n+b^n=c^n-b^n, tolgo le c^n e arrivo ad ottenere b^n=-b^n, cioè il teorema di Fermat è valido per b negativo. Ps. c'è un errore di battitura alla terza riga leggere a^n/b^n invece di a^n/b^nn Francesco.

Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Discussione:Ultimo_teorema_di_Fermat"
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