Discussione:Teorema di Morera

L'applicabilita' del Teorema della Media nel processo di dimostrazione non è chiarissima.

In particolare, il Teorema della media NON vale nei complessi così come nei reali. Vale invece una sua versione "per componenti" (oltre a quella sulla circonferenza che non mi sembra rilevante)... dalla quale risalire alla legittimita' del passaggio usato nella dimostrazione risulta difficoltoso.

...oppure mi sto perdendo qualcosa per strada ?

Pragma 04.02.2008

Con molto ritardo, ecco la risposta.

L'integrazione è sul piano complesso, ma dato che il percorso di integrazione è un segmento, si può fare una rotazione e trasformare l'integrale di variabile complessa in un normale integrale di variabile reale, ed applicare così il teorema della media. In dettaglio: si faccia la sostituzione $w-z=re^{i\theta }$; dato che l'integrazione è su un segmento, $\theta$ è costante, quindi si ottiene $dw=e^{i\theta }dr$; si ottiene così:

• $\int _{z}^{z+h}f\left(w\right)dw=e^{i\theta }\int _{0}^{\left|h\right|}f\left(re^{i\theta }\right)dr=e^{i\theta }\left|h\right|f\left(\left|c\right|e^{i\theta }\right)=hf\left(c\right)$

dove ovviamente $c$ è un punto del segmento $\left[z,z+h\right]$. Il secondo termine è un normale integrale di variabile reale, quindi si è potuto applicare il teorema della media. Comunque non so se sia il caso di inserire tutti questi dettagli nella voce. --}{ybrid∫linky (Respect! Walk! Are you talking to me?) 15:41, 30 giu 2009 (CEST)