Discussione:Ipotesi del continuo

Non è un po' azzardato dire che "Gli studi di Gödel e Cohen hanno permesso di stabilire che la validità dell' ipotesi del continuo dipende dalla teoria degli insiemi in cui viene formulata."? Voglio dire: la "validità" è una proprietà semantica relativa al modello non alla teoria formale...

--Pokipsy76 10:13, Feb 6, 2005 (UTC)

Un'altra perplessità: Che significa "I numeri reali sono chiamati continui dato che, come dimostrò Cantor, sono l'insieme più piccolo dotato di questa proprietà"? Di quale proprietà stiamo parlando? Detto così sembra come se Cantor ha dimostrato l'ipotesi del continuo... e poi qual'è il nesso tra quella proprietà e il chiamare i numeri reali "continui"? Ciao! --Pokipsy76 11:32, Feb 9, 2005 (UTC)

>Nel 1940, Kurt Gödel fece un passo in avanti, dimostrando che l'ipotesi del continuo (in breve CH, dall'inglese continuum hypothesis) non può essere dimostrata falsa usando il sistema di assiomi di Zermelo-Fraenkel, neppure con l'aggiunta dell'assioma della scelta. D'altra parte, nel 1963 Paul Cohen dimostrò che CH non può essere neppure dimostrata vera a partire da quegli assiomi. Il risultato complessivo è che CH è indipendente dal sistema di assiomi di Zermelo-Fraenkel e dall'assioma della scelta. Occorre tenere conto che entrambi questi risultati partono dall'assunto che gli assiomi di Zermelo-Fraenkel non siano tra loro contraddittori, cosa che si suppone generalmente essere vera.

E' SBAGLIATO!ho un libro di zichichi tra le mani, e non parla di caso indecidibile, di cui non si può dimostrare nè verità nè falsità. Godel trova una classe di insiemi infiniti che chiama costrubili per i quali assioma della scelta e ipotesi del continuo sono sempre veri e sono dei teoremi,non più degli assiomi. godel li deduce dagli altri assiomi di zermelo-frenkel.

cito il libro:<nel 1963 paul cohen scopre che per gli insiemi infiniti non costruibili l'ipotesi del continuo non vale.il che vuol dire che tra i liveli aleph- e aleph-uno ci sono tanti altri livelli di infinito.ciò che cantor aveva intuito non vale per gli insiemi infiniti non costruibili>>.-marco

Non ho capito che cosa ritieni sia sbagliato nel testo che hai citato.--Pokipsy76 19:59, 28 ago 2006 (CEST)

dicevo che npon è vero che non può essere dimostrata nè verra nè falsa.ma che sono stati scoperti due domini iversi (gl iinsiemi costruibili e non costruibili) n cui rispettivamente sono veri e falsi.-marco

Non può essere dimostrata vera o falsa nella teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel, questo è il dato riportato dal testo ed è dimostrato. Un altro dato è che l'ipotesi è vera se ci restringiamo agli insiemi costruibili, questo il testo che hai citato non lo dice ma in questo non commette nessun errore e in caso si può aggiungere (anche se l'argomento "insiemi costruibili" è molto delicato e per introdurlo ci vorrebbe qualcuno ferrato o che disponga di buoni testi). Comunque nessuno ha mai dimostrato che per gli insiemi non costruibili l'ipotesi del continuo è falsa.--Pokipsy76 00:45, 29 ago 2006 (CEST)

>Comunque nessuno ha mai dimostrato che per gli insiemi non costruibili l'ipotesi del continuo è falsa.

il passo del libro che ho citato dice di sì. gli insiemi di zermelo-frenkel coincidono con gli insiemi costruibili; credo che sia lo stesso dominio, non una restrizione.-marco

Ora che mi ci fai fare caso l'ho notato anch'io: il testo di Zichichi dice che "non vale" per gli insiemi "non costruibili"!! E' uno strafalcione clamoroso da parte del prof. Zichichi! (Chissà se è stato già annoverato nel libro di Piergiorgio Odifreddi "Zichicche").--Pokipsy76 09:37, 29 ago 2006 (CEST)

dato che sei ferrato in materia), direi di mettere su wikipedia una definizione di questi insiemi costruibili..sono quelli che seguono i 9assiomi?o un sottoinsieme con delle ulteriori condizioni?-marco

discrepanza

Sbaglio o l'articolo è leggermente contraddittorio? A inizio pagina si dice che l'ipotesi del continuo afferma che non esistono insiemi di cardinalità compresa tra aleph0 e aleph1, a metà articolo si dice invece che l'ipotesi afferma che esiste una infinità CONTINUA di infinità, e quindi tra due cardinalità transfinite ce ne sono altre... o_O

La frase a metà articolo (oltre che essere piena di errori di ortografia) era sbagliata e fuorviante, deve essere stata un'aggiunta che non è stata controllata da nessuno. Adesso l'ho tolta :-) -- .mau. ✉ 09:56, 23 nov 2006 (CET)

Dettagli

Premesso che non sono laureato in matematica, volevo porre alcune domande:

1. c'è un motivo particolare per il quale si parla di cardinalità degli INTERI e non dei NATURALI ? Sebbene le due cardinalità siano le medesime, mi chiedo se esiste un motivo particolare per il quale scegliere gli interi invece dei naturali; nei libri che ho letto, si fa sempre la seconda scelta. In questa ottica toglierei anche la locuzione "ad esempio" quando si parla di insiemi infiniti di diversa cardinalità. La formulazione originale era specificatamente riferita alla cardinalità degli insiemi dei NATURALI e degli INTERI, di conseguenza non si vede a quale esempio ci si possa riferire (anche perchè Cantor non conosceva altri insiemi con cardinalità diverse, fatti salvi gli insiemi delle parti di questi).
2. esistono insiemi transfiniti ? Ho sempre trovato riferimenti a numeri transfiniti o a insiemi che hanno cardinalità trasnfinite, ma "insiemi transfiniti" mai. Si parla piuttosto di insiemi infiniti. O no?
3. siamo certi che la formulazione matematica dell'ipotesi sia corretta ? Non sarebbe stato meglio ricordare che Cantor definì la cardinalità dei reali attraverso la lettera gotica "c" e quindi utilizzare la formulazione "c = aleph 1" ?

Vorrei anche aggiungere che la cardinalità di un insieme più che la "dimensione" di un insieme, rappresenta la "numerosità dei suoi elementi" o, se preferiamo, la "quantità degli elementi in un insieme contenuti". Il termine "dimensione", per l'ampio uso che se ne fa in geometria, è fuorviante.