Discussione:Funzione di produzione CES

Una proposta ed un paio di domande

Chiedo scusa se non modifico direttamente la voce, ma sto iniziando solo ora a studiare seriamente questi argomenti e non vorrei scrivere cappellate.

Per cominciare, proporrei qualche cenno alle origini: Arrow, Solow & C. sono partiti dalla constatazione (non poi così trascurabile) che la funzione di Cobb-Douglas non trova risconto nei dati empirici proprio perché presenta un'elasticità di sostituzione costante ma pari all'unità. Ricavarono la prima formula, basandosi su una funzione di produzione del tipo Y=F(K,L), osservando che i dati venivano meglio approssimati dall'equazione:

$\log {\frac {Y}{L}}=\log a+b\log W$

in cui b, uguale all'elasticità di sostituzione, era significativamente diverso da 1. Risolvendo l'equazione si ottiene:

$Y=\gamma [\delta K^{-\rho }+(i-\delta )L^{-\rho }]^{-1/\rho }$

E poi... sono io che non ho capito nulla o la sezione "Saggio Marginale di Sostituzione Tecnica ed elasticità di sostituzione" è tutta da rifare?

• prima formula: per coerenza con la voce Saggio marginale di sostituzione tecnica, i pedici di SMST andrebbero scambiati:

$SMST_{i,j}={\frac {\partial Q/\partial x_{i}}{\partial Q/\partial x_{j}}}={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{j}}}\left({\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right)^{1+\rho }$

• la seconda formula mi pare inutilmente complicata; preferirei (per passare poi alla formula successiva):

$\log SMST_{ij}=\log {\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{j}}}+(1+\rho )\log {\frac {x_{j}}{x_{i}}}$

• la terza formula sembra un po' appesa per aria; preferirei qualcosa del tipo: "Essendo il primo addendo costante, si può scrivere come segue l'elasticità di sostituzione:

$\sigma ={\frac {d\log {\frac {x_{j}}{x_{i}}}}{d\log SMST_{ij}}}={\frac {d\log {\frac {x_{j}}{x_{i}}}}{(1+\rho )d\log {\frac {x_{j}}{x_{i}}}}}={\frac {1}{1+\rho }}$
che diventa così dipendente dal parametro ρ ed uguale all'unità solo se ρ = 0 (cfr. successiva sezione sulla funzione Cobb-Douglas)".

• la quinta formula diventa a questo punto inutile, e mi sembrerebbe giusto, visto che non mi pare proprio che la relazione tra σ e ρ dipenda dall'essere, in concorrenza perfetta (non "in equilibrio"...), il SMST uguale al rapporto tra i prezzi;
• rimane la quarta formula, che mi pare anch'essa inutile visto che non aggiunge nulla a quanto detto nella voce Elasticità di sostituzione ... ed è pure sbagliata: se non c'è il segno meno, i pedici vanno scritti in modo "incrociato" (cfr. Discussione:Elasticità di sostituzione).

--Leitfaden (msg) 20:13, 6 gen 2009 (CET)

Considera che la voce è stata fatta trasponendo gran parte del materiale dalla corrispondente funzione di utilità. Sui singoli punti:

• Ho invertito i pedici nel SMST;
• Sulla seconda e terza formula dissento. Secondo me la terza formula deriva semplicemente dalla seconda (come scritta da me) derivando rispetto a log(SMST). Così è più semplice di come proponi tu.
• Ho cancellato quarta e quinta formula.
• Sulla proposta di aggiunta: aggiungi pure. Anzi, sono curioso perché il modo in cui è stata derivata la prima volta non lo so bene neanch'io. Magari poi do uno sguardo per eventuali sviste/errori. Ciao--Gvittucci (msg) 21:48, 6 gen 2009 (CET)

Ok. Grazie (soprattutto per la promessa di supervisione....). --Leitfaden (msg) 23:08, 6 gen 2009 (CET)

Ho adeguato i simboli a quelli "moderni"

Caro Leitfaden,

ho modificato un po' il pezzo. In particolare, ho adeguato i simboli a quelli "moderni" per quello che riguarda la retta stimata e a quelli utilizzati sotto per quello che riguarda la funzione CES. Ho anche sintetizzato e spostato in nota alcune cose. Vengono trattate sotto. Se non sei d'accordo cambia pure. Ciao --Gvittucci (msg) 12:29, 13 gen 2009 (CET)

Tutto ok per me (la consideravo una bozza). Solo una nota: avevo riportato la retta stimata come si trova nell'articolo perché la formula della CES viene ricavata da quella risolvendola. "Modernizzando" la retta stimata si perde un po' la connessione, ma capisco bene che può essere una "pignoleria da bibliofilo" ;-) --Leitfaden (msg) 12:53, 13 gen 2009 (CET)