Discussione:Definizione rigorosa del Pi greco in geometria euclidea

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Salve a tutti, sono l'estensore della voce. Lo so, lo stile non è propriamente enciclopedico, però non sapevo in che altro modo poter arrivare ad una definizione rigorosa del pi greco senza introdurre tutto l'armamentario teorico necessario. In questo modo invece la derivazione è completa e credo sia difficile riunire tutti i contenuti nella pagina principale sul pi greco. Penso sia meglio cercare di rivedere un po' lo stile. --}{ybrid∫linky (Respect! Walk! Are you talking to me?) 11:05, 24 mar 2010 (CET)

Tenete presente che questo argomento, con una tale completezza, non viene discusso in alcun libro (e vi assicuro che ne ho consultati molti), e che quindi è utile avere una pagina del genere su una risorsa aperta, pubblica e di grande diffusione come wikipedia. --}{ybrid∫linky (Respect! Walk! Are you talking to me?) 11:31, 24 mar 2010 (CET)
Il fatto che non sia presente in nessun libro lascia un po' perplessi, wikipedia dovrebbe contenere solo cose gia' abbondantemente trattate nei vari manuali e non ricerche originali. Forse questa pagina e' piu' adatta ada altri progetti. Qual e' il punto cruciale per definire pi greco in geometria euclidea? Questa voce dovrebbe parlare solo di questo, e non introdurre assiomi e teoremi presenti altrove. Ylebru dimmela 16:55, 24 mar 2010 (CET)
Non fraintendiamo per favore. Certo che non è una ricerca originale. Come si può verificare attraverso le note e la bibliografia, non è che questi argomenti non vengano trattati nei libri, è solo che questa voce riunisce trattazioni parziali in una sola organica dissertazione. Il problema è certamente lo stile saggistico, ma l'argomento della voce è di per sé validissimo. --}{ybrid∫linky (Respect! Walk! Are you talking to me?) 17:06, 24 mar 2010 (CET)

Pareri dal progetto[modifica | modifica wikitesto]

Riporto la discussione svoltasi al progetto matematica:--Sandro (bt) 02:35, 25 mar 2010 (CET)

Vorrei segnalarvi questa voce che ho appena finito di scrivere per intero: Definizione rigorosa del Pi greco in geometria euclidea. Mi sembra una voce interessante su un argomento non molto trattato nei testi di geometria (almeno tutti quelli che ho avuto modo di consultare io nella biblioteca della mia università). Comunque io non sono un matematico, bensì un fisico, quindi inviterei i matematici a correggere eventuali sbavature ed imprecisioni presenti nella voce (errori non dovrebbero esserci :-P). --}{ybrid∫linky (Respect! Walk! Are you talking to me?) 20:29, 18 mar 2010 (CET)

Beh, hai fatto un lavoro davvero immane, anche se secondo me un saggio del genere forse non è adattissimo a un enciclopedia. In ogni caso un grazie dal progetto direi che ti spetta! Quanto alla correzione, purtroppo io non ho proprio tempo, ho già una discreta lista di lavoro arretrato a cui faccio fatica a stare dietro e leggersi attentamente tutta la voce non sarebbe una passeggiata. Mi spiace, spero però che qualcun altro abbia voglia di mettersi!--Sandro (bt) 03:33, 24 mar 2010 (CET)
Lo so, lo stile non è propriamente enciclopedico, però non sapevo in che altro modo poter arrivare ad una definizione rigorosa del pi greco senza introdurre tutto l'armamentario teorico necessario. In questo modo invece la derivazione è completa. Comunque ho visto che è stato messo un template "da controllare", quindi proseguirò la discussione nella voce stessa. --}{ybrid∫linky (Respect! Walk! Are you talking to me?) 11:03, 24 mar 2010 (CET)
A me, indipendentemente dalla correttezza del contenuto (che non ho modo di verificare, anche per mancanza di tempo), pare francamente molto lontana da una voce adatta a Wikipedia, con tutto il rispetto per la mole di lavoro che è stato necessario per scriverla. Penso si dovrebbe spostare a un diverso progetto. --Guido (msg) 14:13, 24 mar 2010 (CET)

Salve, a parte qualche perplessità stilistica, questo articolo mi ha fatto venire un forte dubbio relativamente alla voce lunghezza. Infatti vi si legge: In geometria (euclidea), la lunghezza è la classe di equivalenza dei segmenti (di curva) totalmente sovrapponibili tra loro. Mi è ben chiaro cosa significa sovrapponibile per due segmenti di retta. Opero una roto-traslazione. Ma per le curve? Per sovrapporre un arco di cerchio e uno di parabola, aventi la stessa lunghezza, devo fare una deformazione. Una trasformazione continua può modificare le lunghezze. Una isometria, detta anche trasformazione rigida, è troppo restrittiva. A questo punto tolgo i riferimenti alle curve e aggiungo un puntatore a Lunghezza di un arco.

Tornando ab ovo, direi che anche questo articolo vada allegerito utilizzando il più possibile puntatori a voci già esistenti, magari sistemandole un po'. --Ancelli (msg) 14:14, 24 mar 2010 (CET)

Dovrei rileggere la voce, ma a me è sembrato di capire che il nodo concettuale è tutto lì. Se si dà per scontato il concetto di lunghezza d'arco, allora la definizione rigorosa di Pi greco è semplicemente: il rapporto fra la circonferenza e il diametro di un cerchio. Tutto il resto diventa superfluo. --Guido (msg) 14:20, 24 mar 2010 (CET)
Una voce di un'enciclopedia ipertestuale deve contenere solo ciò che è strettamente necessario per comprendere l'argomento, demandando tutto l'approfondimento alle voci specifiche, altrimenti si fanno soltanto pagine doppione. Inoltre semplificherei il titolo in definizione geometrica del Pi greco, il "rigoroso" deve già essere implicito in una trattazione enciclopedica.PersOnLine 14:47, 24 mar 2010 (CEST)


proposta di riorganizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Riallacciandomi all'intervento di Guido, direi che i punti essenziali siano tre, la lunghezza d'arco, l'invarianza del rapporto tra diametro e circonferenza del cerchio, la trascendenza di pi-greco. L'attuale voce Lunghezza di un arco potrebbe essere migliorata attingendo da questa voce. Il secondo punto andrebbe aggiunto alla voce Pi greco dove, se c'è, è ben nascosto. L'ultimo punto è abbastanza ben sviluppato nella voce Pi greco, anche se tutto è migliorabile. Fatto questo, francamente, toglierei questa voce. Non senza aver prima controllato se ci sono altre parti riutilizzabili, visto che è stata scritta bene. --Ancelli (msg) 11:31, 25 mar 2010 (CET)

L'invarianza del rapporto tra diametro e circonferenza si dimostra grazie ai teoremi sul rapporto tra i perimetri (o le aree) dei poligoni iscritti o circoscritti alla circonferenza, ed utilizzando poi il metodo di esaustione. Queste dimostrazioni a mio avviso devono essere lasciate. La discussione dell'assioma di Dedekind e le relative conseguenze potrebbe essere spostata in parte nella voce Assioma di Dedekind ed in parte alla voce Lunghezza di un arco. Sull'assioma di Eudosso (oppure di Archimede-Hilbert) si potrebbe spostare tutto nella voce Metodo di esaustione. Non ho particolari obiezioni alla riorganizzazione o allo spezzettamento della voce; l'unica cosa che mi sta a cuore sono i suoi contenuti: essi non devono esser perduti e chiunque consulti wikipedia su questo argomento, deve essere in grado di ricostruirsi da sé il percorso concettuale di questa voce. --}{ybrid∫linky (Respect! Walk! Are you talking to me?) 12:13, 25 mar 2010 (CET)
Un problema di questa voce è che quella descritta è presentata come la definizione rigorosa di Pi greco, mentre invece è al più una definizione rigorosa di Pi greco. Anche per questo, concordo con la proposta di integrare in Pi greco un chiarimento sui nodi concettuali principali: la definizione di lunghezza della circonferenza e il fatto che il rapporto fra ciconferenza e diametro sia una costante, rimandando ad altre voci (a loro volta da creare o integrare) per le definizioni e i teoremi necessari. Ho l'impressione, tra l'altro, che quelle fornite qui non siano le uniche definizioni possibili, e che non siano del tutto autosufficienti: in partcolare il punto debole di tutto il discorso, a mio modo di vedere, è che manca una definizione rigorosa di cosa sia una curva (questione non meno banale che definirne la lunghezza...). Nel calcolo differenziale e integrale, i concetti di curva continua e di lunghezza d'arco si possono dare - credo - senza dover ricorrere agli assiomi qui citati. Se un linguaggio matematico più moderno permette di semplificare calcoli e dimostrazioni (come di regola avviene, altrimenti useremmo ancora tutti il linguaggio degli Elementi di Euclide), non bisogna aver paura di usarlo. In particolare, se si dispone di una definizione di lunghezza d'arco che mostri direttamente come la lunghezza di qualsiasi curva risulti moltiplicata per c quando si applica un'omotetia con fattore di dilatazione uguale a c, ecco che il fatto che il rapporto fra circonferenza e diametro sia lo stesso per tutti i cerchi diventa ovvio. Detto questo, il percorso qui tracciato è comunque significativo almeno sul piano storico, ma sono anch'io dell'idea che sia meglio collocare i contenuti nelle voci relative, in particolare nella voce lunghezza di un arco, lasciando però che quest'ultima voce presenti anche gli altri approcci possibili. --Guido (msg) 14:24, 25 mar 2010 (CET)
Non credo che quelle fornite siano le uniche definizioni possibili. Io ho cercato di arrivare al pi greco in due modi: 1) seguendo direttamente Euclide ed Archimede, restando così fedele alla storia, e questo mi sembra importante e certamente interessante per un enciclopedia 2) presentando una derivazione più moderna basata sull'assioma di Dedekind (che oltre al metodo di esaustione permette anche di definire in maniera più rigorosa anche la lunghezza di una curva). In ogni caso comunque ho volontariamente omesso qualunque utilizzo dei concetti di limite e di infinito: in questo modo la derivazione è più "elementare" e può essere seguita, credo, da qualunque studente di scuola superiore. In alcuni testi vengono presentate dimostrazioni che fanno uso della trigonometria, però mi viene il dubbio: ma possiamo costruire la trigonometria senza già conoscere il pi greco? Se poi si possono fare anche dimostrazioni basate sul calcolo differenziale ed integrale, va benissimo, si può aggiungere, ma in questo caso la derivazione sarebbe di sicuro meno elementare, perché farebbe uso di risultati di un'altra teoria. E comunque non credo che si possa fare "senza dover ricorrere agli assiomi qui citati", infatti questi assiomi sono necessari anche per definire i numeri reali sui quali poi è fondato il calcolo differenziale ed integrale. --}{ybrid∫linky (Respect! Walk! Are you talking to me?) 00:35, 27 mar 2010 (CET)
Mah. Mi chiedo quanti siano gli studenti di scuola superiore che arrivino fino a in fondo a qusta voce, e capiscano realmente il senso di tutta la faccenda. In ogni caso, un punto che mi pare critico in quest'approccio è che - come ho già scritto sopra - non si definisce il concetto di curva. In geometria euclidea si suppone di sapere cosa sia una retta (attraverso le proprietà descritte nei postulati), ma bisognerebbe anche sapere cosa sia in generale una curva (o linea, come è spesso detto nella voce): una curva continua, per la precisione, dato che tutte le affermazioni riportate valgono per curve continue. Il cerchio è un caso particolare, perché si può definire come luogo dei punti equidistanti da un centro: ma nell'Assioma 2 di Archimede si parla genericamente di "linee". Cos'è, precisamente, una linea? Non è evidente neppure come si possa dire, data una curva (non chiusa) nel piano, se un punto non appartenente alla curva stia da un lato o dall'altro della curva. Se la curva, ad esempio, fosse una spirale... È chiaro che intuitivamente l'Assioma 2 si capisce benissimo, solo che qui stiamo cercando di dare una "definizione rigorosa". Si potrebbe dire, ad esempio, che una curva è "concava dalla stessa parte" se e solo se la regione di piano delimitata dalla curva stessa e dal segmento di retta che ne congiunge gli estremi è convessa (per garantire che la definizione abbia senso bisogna comunque appoggiarsi al Teorema della curva di Jordan). Ma prima si deve definire cosa sia una curva, dato che non possiamo dire che è "una funzione continua da un intervallo di R in R2". --Guido (msg) 23:39, 29 mar 2010 (CEST)
Di certo non possiamo quantificare quanti studenti leggeranno per intero questa pagina, ma il livello è adatto alle scuole superiori (certamente ci sono studenti e studenti, ma questo non ci interessa).
Per quanto riguarda il rigore, io direi che la derivazione esposta nell'ultimo paragrafo sia ineccepibile e che sia ben fondata sugli assiomi; la definizione generale di curva non è richiesta per essa, infatti si fa riferimento alla sola circonferenza la cui lunghezza viene definita utilizzando l'assioma di Dedekind.
Nella prima parte invece, più che una rigorosa dimostrazione basata sul metodo assiomatico, si vuole presentare il percorso storico con il quale la lunghezza delle curve (e quindi della circonferenza) è stata definita su principi mano mano sempre più generali (metodo analitico - cfr. ad esempio Carlo Cellucci, Le ragioni della logica, Laterza). Nell'assioma di Archimede sulle curve, il concetto di lunghezza rimane puramente intuitivo e viene stabilita soltanto una proprietà della lunghezza di una curva contenuta in un'altra. Più avanti, utilizzando l'assioma di Dedekind la lunghezza della curva viene definita in maniera rigorosa e l'assioma di Archimede derivato come un teorema ma, come viene giustamente fatto notare, che cosa sia una curva resta ancora un fatto intuitivo.
Si può fare di meglio? Io credo di sì, e tenterò qui di abbozzare un tentativo. Assumo che lo spazio euclideo sia uno spazio topologico (certamente è così, però forse bisognerebbe mostrarlo esplicitamente, e credo che anche in questo caso si dovrebbe far uso dell'assioma di Dedekind, ma per il momento tralascio questo punto). Un intorno V \left(P\right) di un punto P si può allora definire come un insieme dello spazio euclideo che contiene un sottinsieme aperto A \subseteq V tale che P \in A . Si può allora definire la continuità di una funzione f definita su un sottinsieme dello spazio euclideo e a valori nello spazio stesso. Utilizziamo V e U per indicare degli intorni. Possiamo allora dire che una funzione f\left(P\right) è continua in un punto P_0 se \lim_{P \to P_0 } f\left( P \right) = f\left( {P_0 } \right) ovvero se \exists V \left(P_0\right) tale che \forall P \in V \left(P_0\right), \ \exists U \left[ f \left(P_0\right) \right] tale che f\left(P\right) \in U. A questo punto posso tranquillamente dire che, per i nostri scopi, una curva è una funzione continua da un segmento al piano. Al fine di arrivare alla dimostrazione dell'assioma di Archimede sulla lunghezza, consideriamo solo le curve tali che, presa la retta passante per i due estremi della curva stessa, non intersecano tale retta, ovvero solo le curve che giacciono interamente "da una stessa parte" rispetto alla retta passante per gli estremi (questa restrizione è usata dallo stesso Archimede, anche se non l'ho riportata nella voce). Diciamo inoltre che una curva è concava dalla stessa parte se, presa una coppia qualsiasi di punti della curva, allora il segmento che li unisce non interseca la curva (e questa definizione è già data). Date inoltre due curve concave dalla stessa parte e con gli stessi estremi, diciamo che una curva \gamma è contenuta in una curva \Gamma se, prendendo un punto H qualsiasi del segmento che unisce gli estremi ed un punto K qualsiasi della curva \gamma, allora il prolungamento del segmento HK interseca sempre la curva \Gamma (cfr. le note esplicative al libro sulla sfera ed il cilindro di Archimede nell'edizione UTET). Questa definizione automaticamente garantisce che, facendo riferimento alla figura utilizzata nella dimostrazione dell'assioma di Archimede, il segmento AM_1 intersechi la curva \Gamma nel punto N_1. A questo punto credo che tutto torni e che non ci sia bisogno di appoggiarsi al teorema della curva di Jordan. Per la topologia mi sono basato essenzialmente su John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, Springer. --}{ybrid∫linky (Respect! Walk! Are you talking to me?) 02:13, 31 mar 2010 (CEST)

Beh, certo che in questo modo si può definire il concetto di curva continua, avendo definito in generale il concetto di funzione continua. Ma certamente non ha senso definire quest'ultimo concetto in questa voce. (Per inciso, non vedo alcuna ragione in questa definizione di introdurre gli intorni di un punto come sottoinsiemi - generici - che includono un aperto contenente il punto dato: si possono benissimo considerare solo gli intorni aperti, cioè gli aperti che contengono il punto. Inoltre, una volta che si introduce la topologia degli insiemi, ossia si definiscono gli aperti, la definizione di funzione continua è molto più semplice: una funzione è continua se la controimmagine di qualsiasi aperto del codominio è un aperto del dominio. Qui, infatti, non serve chiedere che la funzione sia continua in un punto, ma che sia continua ovunque. Ma questi sono dettagli tecnici). Le considerazioni, molto generali (e finali, per quanto mi riguarda) a cui mi porta tutta questa discussione - che ritengo sia stata molto utile - sono queste (personalmente non avrò tempo di lavorare io sulla voce, quindi chi le leggerà deciderà in che conto tenerle):

  1. Le voci di Wikipedia sono ipertesti. L'autore di questa voce, a mio parere, si è scontrato con un problema di fondo, che ho incontrato più volte io stesso (e che è uno dei motivi per cui non ho mai tentato di creare nuove voci di matematica o di fisica): le singole voci sono il risultato del lavoro di uno o più utenti, senza che vi sia nessun tipo di coordinamento che porti a un percorso organico. Una persona che conosca già un argomento, almeno nelle sue linee generali, può trovare in Wikipedia una marea di informazioni e spunti di approfondimento; chi invece voglia accostarsi per la prima volta a un tema specifico (la geometria euclidea, l'analisi matematica, ecc.), invece, troverà sì voci correlate fra loro, ma scritte in stili e livelli di approfondimento molto diversi (una scritta da un matematico, una da un ingegnere, più d'una da studenti universitari o anche liceali la biografia di Eulero l'ha scritta in gran parte, molto lodevolmente, uno studente di scuola media inferiore...), e non troverà in generale l'indicazione di un percorso coerente per l'apprendimento. Detto in altri termini, Wikipedia è un preziosissimo strumento di consultazione, ma non è affatto un valido strumento didattico per l'apprendimento autonomo. Non può sostituire un corso o almeno la lettura di un buon testo didattico. Questa limitazione, che peraltro WP condivide con qualsiasi enciclopedia, può dispiacere ad alcuni di noi ma secondo me è insuperabile. La rete può offrire validi strumenti di apprendimento, ma diversi dalle voci di Wikipedia. In quella direzione si muove, ad esempio, il progetto Wikibooks: non ne ho esperienza diretta, ma raccomanderei a Hybridslinky di farci un giro. Trasformare questa voce in un vero e proprio Wikibook potrebbe essere il modo migliore di conservare un'impostazione coerente e unitaria, senza bisogno di duplicare definizioni e teoremi già presenti in altre voci.
  2. La questione del linguaggio da usare. A me pare che ci sia (in generale, non mi riferisco a un singolo utente) un atteggiamento diffuso per cui, essendo noi abituati ad un apprendimento scolastico della matematica in cui si presenta solo la matematica anteriore al XVII secolo, riteniamo che il linguaggio matematico sviluppato successivamente sia "più difficile", e quindi non lo si debba usare per parlare di argomenti che possono essere trattati anche con il linguaggio più antico. E perché allora dovremmo imparare fin dalle scuole elementari, per le operazioni aritmetiche di base, la notazione decimale (risalente al XVII secolo), invece di usare la notazione che fu universalmente usata fino a tutto il Rinascimento? E perché, per contro, l'assioma di Dedekind (seconda metà del XIX secolo) dovrebbe essere "più elementare" del linguaggio del calcolo differenziale e integrale? Come ho già scritto sopra, la matematica per lo più procede storicamente verso la creazione di un linguaggio in cui non solo è possibile formulare e risolvere nuovi problemi, ma i calcoli e le dimostrazioni preesistenti diventano più semplici. Ora non voglio certo aprire qui una discussione sui fondamenti della matematica: mi sembra solo che nell'assumere una qualche forma di gerarchia concettuale dovremmo (1) distinguere nettamente fra le polarità "elementare/complesso" (dimensione cognitiva e didattica), "fondamentale/derivato" (dimensione assiomatica) e "precedente/successivo" (dimensione storica); (2) evitare di costruire una gerarchia "dal più facile al più difficile" basata semplicemente sulla nostra storia di apprendimento scolastico, in Italia, che per la maggioranza di noi ha seguito approcci obsoleti, incoerenti e poco efficaci, tant'è che il livello medio di competenze matematiche e quello di passione per la matematica sono quelli che abbiamo tutti sotto gli occhi.

Riassumendo, io credo che un'esposizione coerente e auto-consistente come quella proposta in questa voce dovrebbe essere trasferita in un diverso contesto (ad esempio Wikibook); che dovrebbe essere però separato il percorso storico (che è di per sé molto importante, anche didatticamente) dalla presentazione della formalizzazione offerta dalla matematica moderna; che a quest'ultima, tuttavia, si dovrebbe aggiungere quanto è pertinente anche nell'ambito dell'analisi matematica: vuol dire che chi non avrà le conoscenze necessarie per quella parte, non la leggerà (ma gli studenti delle superiori potenzialmente interessati a questo argomento saranno in maggioranza studenti dei licei scientifici e degli istituti tecnici industriali, per i quali il linguaggio del calcolo differenziale e integrale - almeno nell'ultimo anno - è molto più familiare, sia pure a un livello non formalizzato, del linguaggio della geometria euclidea e della teoria degli insiemi). Detto questo, non sarò certo io a proporre di cancellare questa voce, e se qualcuno lo facesse mi esprimerei in senso contrario. Non sarei affatto contento di vedere Wikipedia ridotta a una collezione di voci sulle chiese parrocchiali, le stazioni ferroviarie e i giardinetti pubblici delle frazioni di innumerevoli comuni siciliani, laziali o lombardi. --Guido (msg) 10:39, 31 mar 2010 (CEST)

L'importante è che per il momento la voce venga mantenuta. Pian piano posso cominciare io a sistemare e a rendere coerenti tutte le voci necessarie a questa. L'importante è che non ci siano dubbi sulla correttezza dei vari passaggi, e a questo punto mi sembra proprio che non ce ne siano. --}{ybrid∫linky (Respect! Walk! Are you talking to me?) 12:39, 31 mar 2010 (CEST)

Non è un saggio[modifica | modifica wikitesto]

Direi che la voce non è un saggio, per lo meno per quel che riguarda la prima parte. Per poter definire pi greco come rapporto fra lunghezza della circonferenza e diametro bisogna prima dimostrare che questo rapporto è indipendente dalla circonferenza scelta. Ed è quello che Archimede sembra si sia preso la briga di fare. Perchè era un matematico attento, preciso e, nel suo ambito, rigoroso. E il tempo gli ha dato ragione: della dimostrazione c'era davvero bisogno, visto che tale rapporto non è fisso nelle geometrie non euclidee, e quindi in queste geometrie è impossibile dare la definizione di pi greco in tale maniera. Nella prima parte della voce si esprimono (citando esplicitamente i singoli passi) gli argomenti di euclide ed archimede. Visto che in oltre 2000 anni nessuno (o quasi) ha avuto niente da ridire, non vedo perchè non si possa riportare quello che dicono euclide ed archimede. E ciò non è nè un saggio nè ricerca originale. Al limite, l'inizio della voce è così accurato che desterebbe il sospetto di copyviol...

La seconda parte è decisamente caotica, anche se in certi casi coglie sostanzialmente nel segno. Il discorso delle priorità intellettuali e della terminologia è talmente fluido che anche gli storici specialisti ci si perdono, cambiano idea, fanno nuove scoperte.

Quello che va fatto immediatamente è spiegare da dove è preso il materiale della sezione "Definizione ed unicità del Pi greco". Il libro di Pierre Eymard e Jean Pierre Lafon dice esplicitamente che archimede ha dimostrato l'unicità di pi greco, ma non trovo dove archimede l'avrebbe fatto. La seconda parte è da sistemare ulteriormente.--Pop Op 20:52, 7 apr 2011 (CEST)

Mi dispiace per i signori Eyamard e Lafon, ma basta consultare direttamente l'opera di Archimede e si vede che la dimostrazione dell'unicità del pi greco non c'è. Il libro sulla misura del cerchio di Archimede contiene solo tre proposizioni. La prima corrisponde al Teorema 6 di questa voce. Le altre due invece sono solo due approssimazioni numeriche del pi greco, una delle quali è anche considerata apocrifa e omessa in alcune edizioni. Da nessuna parte Archimede dimostra esplicitamente l'unicità del pi greco, ma dato che comunque ne calcola un'approssimazione, allora evidentemente l'unicità la dava già per scontata. Ricordiamo infatti che Archimede viene dopo Euclide e conosceva già tutti i risultati di quest'ultimo. La dimostrazione dell'unicità del pi greco data in questa voce è una dimostrazione banale che fa uso di una proposizione di Euclide corrispondente al Teorema 3 di questa voce e della prima proposizione del libro di Archimede sul cerchio (Teorema 6 nella voce). Questa dimostrazione non l'ho presa da nessuna parte, l'ho scritta io. Fortunatamente nelle voci di matematica le dimostrazioni, se sono buone, possono stare anche senza fonte. L'unicità del pi greco si potrebbe dimostrare anche partendo da quelli che nella voce sono gli Assiomi 1, 2 ed il Teorema 9, che è tutta roba che si trova nel libro di Archimede sulla sfera ed il cilindro. Tuttavia neanche in questo libro c'è una dimostrazione esplicita dell'unicità del pi greco. Io ne ho concluso, ma non l'ho scritto nella voce, che Archimede la desse per scontata. Ad ogni modo credo che si possa togliere dalla voce il template che richiede una fonte per la dimostrazione dell'unicità del pi greco, semplicemente perché la fonte non c'è, ma la dimostrazione è comunque valida e molto semplice.--}{ybrid∫linky (Respect! Walk! Are you talking to me?) 00:15, 8 apr 2011 (CEST)
Aggiungo ancora una breve considerazione. In questa voce, nell'ultimissima dimostrazione dell'unicità del pi greco, in cui si fa uso della lunghezza C della circonferenza definita a partire dall'assioma di Dedekind, la lunghezza C potrebbe essere benissimo definita a partire dagli Assiomi 1 e 2 e ripetere poi pari pari la stessa dimostrazione. Questo significa che nel libro di Archimede sulla sfera ed il cilindro ci sono già tutti gli elementi per poter arrivare alla dimostrazione dell'unicità utilizzando il metodo di esaustione (conosciuto sin dai tempi di Eudosso), tuttavia questa dimostrazione Archimede esplicitamente non la scrive. Il perché Archimede ometta questa dimostrazione non lo so, dato che è una dimostrazione abbastanza ovvia ed inoltre è evidente che Archimede conoscesse l'unicità del pi greco, dal momento che ne calcola un'approssimazione.--}{ybrid∫linky (Respect! Walk! Are you talking to me?) 10:39, 8 apr 2011 (CEST)
Degli scrittori antichi ci è rimasta solo una piccolissima parte delle opere. Quindi Eyamard e Lafon (che hanno pubblicato per l'AMS, quindi suppongo siano degni di fiducia) hanno probabilmente valutato che Archimede conosceva l'esistenza della dimostrazione dell'unicità di pi greco, in entrambi i sensi, e la dava per sottintesa, o magari l'ha scritta in qualche opera perduta, cosa del resto coerente col tuo discorso. Magari archimede l'ha scritta, ma i copisti non hanno copiato tutta l'opera. Su queste ipotesi bisognerebbe citare il lavoro di qualche storico. Detto questo, la tua dimostrazione è semplice e ovvia, ma, fino a che non trovi qualcun altro che ha scritto qualcosa di simile, in teoria sarebbe ricerca originale, secondo wikipedia. Il resto della voce sembra fatta bene, anche se non ho controllato tutti i dettagli, quindi complimenti comunque!
"continuità circolare ed elementare come assiomi, infatti, partendo dall'assioma di Dedekind, essi possono essere dimostrati come teoremi" Questo è comunque vago, se non si spiega esattamente in quale sistema di assiomi si lavora. Direi a prima vista che senza ulteriori precisazioni è falso, perchè se per "circonferenza" consideri solo i punti a coordinate razionali della circonferenza, vale tutto tranne quegli assiomi.--Pop Op 16:22, 8 apr 2011 (CEST)
Quello che Archimede ha scritto ma non ci è stato tramandato ovviamente non possiamo saperlo. L'edizione di Archimede citata in bibliografia è un'edizione critica basata su molte fonti e non dice nulla di nulla riguardo questa dimostrazione. Lo stesso dicasi anche per la classica edizione critica in inglese di Heath. Mentre quello di Eymard e Lafon è solo un normale testo di matematica, che non ha alcuna pretesa di essere storicamente accurato. Eymard e Lafon fanno esplicito riferimento al libro sulla misura del cerchio ed a nessun'altra fonte, ma in quel libro non c'è affatto scritto quello che loro sostengono ci sia scritto. Quindi le loro informazioni non possono essere prese per buone. Se avessero fatto riferimento ad altre fonti avrebbero dovuto scriverlo, ed ammesso anche che abbiano utilizzato altre fonti ma non l'hanno scritto, questo dimostra ancora la loro inaffidabilità come storici della matematica (ma infatti non sono storici, sono semplici matematici). Quindi quella nota che tu hai aggiunto va tolta. Su quali assiomi si lavora invece nel caso della continuità circolare è ovvio, quelli di Euclide, ai quali si deve però aggiungere l'assioma di Dedekind, ma dato che non stiamo scrivendo un intero trattato di geometria, in quel paragrafo ci si deve limitare solo a dei cenni.--}{ybrid∫linky (Respect! Walk! Are you talking to me?) 17:41, 8 apr 2011 (CEST)
Sul fatto invece che ci voglia una fonte per una dimostrazione così banale come quella che viene proposta credo che sia esagerato. Comunque si potrebbe chiedere un parere nel progretto matematica.--}{ybrid∫linky (Respect! Walk! Are you talking to me?) 17:56, 8 apr 2011 (CEST)
La voce è completamente fuori standard. Non ho letto i contenuti, ma va risistemata radicalmente. Tanto per cominciare si elimina qualsiasi forma di box e rettangoli vari, dopodichè si sistemano le figure mettendo il testo che ne parla come didascalia, e poi il resto. ^musaz 02:06, 9 apr 2011 (CEST)
Certo, per una dimostrazione semplice e chiara non c'è bisogno di citare fonti. Ma per l'enunciato sì. I casi sono due, o l'enunciato sei stato tu per primo a scriverlo (cosa altamente improbabile), in tal caso sarebbe ricerca originale non adatta a wikipedia, altrimentil'enunciato l'ha già detto qualcuno, e allora è opportuno checitare almeno qualcuno che l'ha detto. Cambio la motivazione nel template.--Pop Op 14:16, 9 apr 2011 (CEST)
L'enunciato è semplicemente l'unicità del pi greco. Per questo si potrebbero tranquillamente citare Eymard e Lafon. Però poi la dimostrazione è diversa da quella che propongono loro, perché in questa voce si mettono insieme in maniera ovvia due teoremi già conosciuti da Euclide ed Archimede, mentre in Eymard e Lafon si fa una dimostrazione tutta basata sulla trigonometria. Io non ho seguito la dimostrazione di Eymard e Lafon per due motivi: 1) perché volevo basarmi soltanto su ciò che era conosciuto dall'antichità da Euclide ed Archimede 2) perché la dimostrazione trigonometrica di Eymard e Lafon non mi convince in quanto in realtà non credo che sia possibile formulare la trigonometria senza sapere già cosa sia il pi greco. Ad ogni modo eviterei di attribuire il risultato dimostrato direttamente ad Archimede, perché in Archimede quella dimostrazione non c'è, per quanto possiamo essere sicuri che Archimede lo conoscesse. A ^musaz vorrei invece chiedere che cosa ne pensa riguardo ai contenuti della voce. Sul fatto che sia da reimpostare nella forma non ho nulla da eccepire, però non mi sento abbastanza ferrato con gli standard, quindi sarebbe meglio che lo facesse qualcuno più esperto del progetto matematica.--}{ybrid∫linky (Respect! Walk! Are you talking to me?) 15:00, 9 apr 2011 (CEST)
OK sulla dimostrazione. Per il resto, i greci usavano un linguaggio geometrico che non è immediatamente traducibile nel nostro linguaggio algebrico. (Nessun greco, che io sappia, ha mai parlato di pi greco.) Per cui c'è una certa arbitrarietà nella traduzione dal punto di vista moderno del contenuto dell'opera dei greci. Il teorema di euclide direi che è equivalente ad affermare che, se si definisce pi greco come rapporto fra aree, allora pi greco e' indipendente dalla circonferenza scelta. Archimede dimostra che il pi greco definito in base a rapporto di aree e il pi greco definito in base a rapporto di lunghezze sono identici (questo, sempre, in base ad una possibile interpretazione moderna). Dal che è immediato che i pi greco sono tutti uguali, quindi non credo che l'interpretazione di Eymard e Lafon sia così campata per aria. Limitarsi a dire quello che dicevano i greci significherebbe direttamente eliminare il termine "pi greco", e non credo sia adatto a wikipedia. La cosa migliore sarebbe trovare una fonte moderna che tratta in dettaglio di tutto questo.--Pop Op 16:01, 9 apr 2011 (CEST)
La definizione di pi greco è ovviamente moderna. Chi per primo abbia usato questo simbolo non lo so. Unicità del pi greco comunque significa esattamente questo: che due circonferenze stanno tra loro come i rispettivi raggi, e questa proposizione è immediatamente deducibile mettendo insieme le due proposizioni di Euclide ed Archimede, esattamente come dicono Eymard e Lafon. Quello che volevo far notare però è solo il fatto che questa semplice osservazione, per quanto ovvia, Archimede non la svolge esplicitamente, come invece sembrerebbe che Eymard e Lafon lascino intendere.--}{ybrid∫linky (Respect! Walk! Are you talking to me?) 16:06, 9 apr 2011 (CEST)
Questo probabilmente perchè in genere, nell'antichità si considerava soprattutto il rapporto fra le aree, e non fra le lunghezze, quindi, diciamo, per i greci pi greco era il rapporto fra area del cerchio e quadrato del raggio, quindi l' "unicità" era sottinteso che era stata dimostrata da euclide. Dare la definizione come rapporto fra lunghezze credo sia un'idea piuttosto moderna.
In quanto alla forma della voce, ricordiamoci wikipedia:IGNORA. Così la voce è leggibile, non vorrei che le modifiche peggiorino la leggibilità.--Pop Op 16:19, 9 apr 2011 (CEST)
Sulla forma della voce io al momento non ho intenzione di intervenire. Magari potrei aggiustare qualcosa qua e là, ma niente cambiamenti radicali. Se poi dal progetto matematica riterranno opportuno fare delle modifiche più profonde, si vedrà.--}{ybrid∫linky (Respect! Walk! Are you talking to me?) 16:38, 9 apr 2011 (CEST)

Scusate, se non leggo tutto, ma al momento non ho tempo. Faccio solo presente però che questa pagina è indubbiamente un saggio (suggerisco di rileggere le vecchie discussioni in proposito) e, imho, inadatta a Wikipedia.--Sandro_bt (scrivimi) 05:35, 13 apr 2011 (CEST)

Saggio o non saggio, non voglio discuterne ancora. Ma, se si dà una definizione geometrica di pi greco (e suppongo che sia la definizione che si dà ancora alle elementari e alle medie, non credo che lo si definisca come serie...), e se si vuole essere rigorosi, si deve dimostrare che la definizione è indipendente dalla circonferenza scelta. (Visto che sei un matematico, non credo dovresti far fatica a cogliere il punto). E questo in un'enciclopedia imho ci dovrebbe stare (dico in un'enciclopedia, non nelle lezioni della maestra!).
Ripeto, sulla forma della voce non voglio entrare ancora.--Pop Op 14:03, 13 apr 2011 (CEST)
Nella matematica di oggi, il fatto che la definizione di \pi non dipenda dalla circonferenza scelta è una banale conseguenza del fatto che le definizioni di lunghezza d'arco e di area variano nel modo ovvio rispetto a traslazioni e similitudini. E' quindi un fatto semplice su cui non si sofferma nessuno. D'altra parte, la storia di questo fatto può avere una valenza storica (su cui sono parecchio ignorante) e quindi avere dignità di stare su una enciclopedia. Però non in questa forma. Le voci su wikipedia non hanno "corollari" e "teoremi", raramente dimostrazioni, e non introducono altre nozioni già definite altrove. Si veda il manuale di stile. Ylebru dimmela 21:32, 14 apr 2011 (CEST)
Non è affatto banale, visto che nelle geometrie non euclidee invece non vale.--Pop Op 21:54, 14 apr 2011 (CEST)
I contenuti di questa voce non sono affatto banali ed hanno valore in sé. D'accordo magari a rivedere la forma ma se si spoglia l'enciclopedia di questi contenuti è solo un danno.--}{ybrid∫linky (Respect! Walk! Are you talking to me?) 22:49, 14 apr 2011 (CEST)
Nel moderno spazio euclideo, definito con la geometria analitica, cioè quello che si insegna all'università e che tutti i matematici del mondo usano, la buona definizione di \pi è un fatto banale su cui non si sofferma nessuno. La lunghezza d'arco è definita (come limite) tramite spezzate, l'area (sempre come limite) tramite unioni di rettangoli o se si vuole essere raffinati usando la misura di Lebesgue. E' ovvio che la lunghezza di una spezzata e l'area di una unione di rettangoli, se riscalate di un fattore k e traslati, cambiano di un fattore rispettivamente k e k^2. Nelle geometrie non euclidee i rettangoli manco esistono e l'area è definita in modo diverso, quindi è chiaro che la situazione è differente. Tornando alla forma, ho la sensazione che le osservazioni mie e di altri già intervenuti non siano state analizzate a sufficienza: Wikipedia ha uno stile cui ci si deve attenere. No alle successioni di lemmi/corollari, e no alle ridefinizioni di concetti già definiti altrove. Ylebru dimmela 16:24, 15 apr 2011 (CEST)
Ylebru, immagino ti sia scordato un "non"!--Sandro_bt (scrivimi) 06:58, 16 apr 2011 (CEST)
Ho riletto due volte e non trovo nulla... dove? Ylebru dimmela 13:08, 17 apr 2011 (CEST)
«Nelle geometrie euclidee i rettangoli manco esistono e l'area è definita in modo diverso...» ovviamente intendevi "nelle gemetrie non euclidee". --Guido (msg) 15:59, 17 apr 2011 (CEST)
Aha, eccolo! Grazie... Ylebru dimmela 11:22, 18 apr 2011 (CEST)

Complimenti![modifica | modifica wikitesto]

Ho letto (realmente un po' in "diagonale") tutta la discussione sopra. Per quanto riguarda la voce principale in sé, sono felicissimo di averla trovata e mi complimento con il suo autore: infatti non è facile trovare le stesse cose in maniera così organizzata in altre parti sul web (per esempio la trafila completa delle dimostrazioni di Euclide - Archimede). La mia opinione è che, trattandosi di una voce a sé, staccata dall'argomento più generale del "pi-greco", abbia tutti i crismi per rimanere nell'enciclopedia - non appesantisce la voce principale, e se qualcuno ci capita sopra vuol dire che è interessato all'argomento e sarà contento di trovarlo così com'è. Insomma, mi spiacerebbe molto che venisse cancellato, o stravolto... --Aldoaldoz (msg) 11:19, 30 apr 2011 (CEST)