Disco di Airy

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Un'immagine generata al computer di un Disco di Airy. Le intensità della scala di grigio sono state regolate in modo da evidenziare la luminosità dei dischi esterni del modello.

A causa della sua natura ondulatoria, la luce che attraversa un'apertura sottile viene diffratta e forma una struttura di regioni luminose e scure su di uno schermo posto ad una certa distanza dall'apertura (vedi interferenza).

Il modello di diffrazione che risulta da un'apertura circolare uniformemente illuminata ha una regione luminosa nel centro, conosciuta come Disco di Airy che, assieme ad una serie di anelli concentrici, viene chiamata modello di Airy (da George Airy). Il diametro di questo disco è funzione della lunghezza d'onda della luce illuminante e del diametro dell'apertura circolare.

L'applicazione più importante di questo concetto avviene nelle macchine fotografiche o nei telescopi. A causa della diffrazione, il punto più piccolo nel quale si può mettere a fuoco un raggio di luce usando una lente è delle dimensioni del disco di Airy. Anche se si riuscisse a fare una lente perfetta, c'è ancora un limite alla risoluzione di un'immagine creata da questa lente. Un sistema ottico nel quale la risoluzione non sia più limitata da imperfezioni nelle lenti, ma solo dalla diffrazione viene detto limitato dalla diffrazione.

Il disco di Airy è importante nella fisica, nell'ottica e nell'astronomia.

Dimensione del disco di Airy[modifica | modifica wikitesto]

Lontano dall'apertura, l'angolo al quale il primo minimo avviene, misurato dalla direzione da cui proviene la luce, è dato da:

 \sin \theta = 1.22 \frac{\lambda}{d}

dove λ è la lunghezza d'onda della luce e d è il diametro dell'apertura. Il criterio di Rayleigh dice che, per riuscire a risolvere due oggetti, il centro del disco di Airy per il primo oggetto deve essere nel primo minimo del disco di Airy per il secondo. Questo significa che la risoluzione angolare di un sistema limitato dalla diffrazione è data dalla stessa formula.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

SLR camera[modifica | modifica wikitesto]

La separazione angolare più piccola che due oggetti possono avere prima che si sfochino in un'immagine indistinta, è data da:

 \sin \theta = 1.22 \frac{\lambda}{d}

fino a che θ è piccolo possiamo approssimarla come:

 \frac{x}{f} = 1.22 \frac{\lambda}{d}

dove x è la separazione delle immagini dei due oggetti nella pellicola ed f è la distanza dalle lenti alla pellicola. Se prendiamo la distanza dalle lenti alla pellicola approssimativamente uguale alla lunghezza focale delle lenti troviamo:

 x = 1.22 \frac{\lambda f}{d}

ma \frac{f}{d} è esattamente il rapporto focale (numero che identifica il rapporto tra le dimensioni del diaframma di una macchina fotografica e la distanza focale) di una lente, il quale per la configurazione tipica di una macchina fotografica in un giorno assolato è circa 16. Per la luce blu all'estremo del visibile, la lunghezza d'onda λ è circa 450 nanometri. Troviamo che x è circa 0,01 mm. Una conseguenza di ciò per una fotocamera digitale è che, anche facendo pixel del sensore ottico più piccoli di queste dimensioni, non si avrebbero incrementi nella risoluzione dell'immagine.

L'occhio umano[modifica | modifica wikitesto]

Il rapporto focale più piccolo per l'occhio umano è di circa 2,1 e la risoluzione risultante è circa 1 μm. Questa è all'incirca anche la distanza tra le cellule sensoriali ottiche, i 'pixel' dell'occhio umano.

Dettagli matematici[modifica | modifica wikitesto]

Solido di diffrazione che si ottiene ruotando attorno all'asse delle ordinate la distribuzione della luminosità in funzione della distanza dal centro di un sistema ottico. Nell'immagine si notano anche i primi 3 massimi e i primi 2 minimi dell'integrale risolvibile con le funzioni trascendenti di Bessel.

L'intensità nel modello della diffrazione di Fraunhofer per un'apertura circolare è data da:

I(\theta) = I_0 \left ( \frac{2 J_1(ka \sin \theta)}{ka \sin \theta} \right )^2

dove J_1 è una funzione di Bessel del primo tipo di primo ordine, a è il raggio dell'apertura, I_0 è l'intensità nel centro del modello di diffrazione, e k = {2 \pi}/{\lambda} è il numero d' onda. Qui \theta è l'angolo di osservazione, per esempio l'angolo tra l'asse dell'apertura circolare e la linea tra il centro dell'apertura e il punto di osservazione. Notare che il limite per \theta \rightarrow 0 è I(0) = I_0.

Gli zeri di J_1(x) sono in x = ka \sin \theta \approx 0, 3.832, 7.016, 10.173, 13.324, ... , quindi il primo anello scuro nel modello della diffrazione avviene dove

\sin \theta = \frac{3.83}{ka} = \frac{3.83 \lambda}{2 \pi a} = 1.22 \frac{\lambda}{2a} = 1.22 \frac{\lambda}{d}.

Il raggio q_1 del primo anello scuro su di uno schermo dipende da \theta per q_1 = R \sin \theta, dove R è la distanza dall' apertura.

L'intensità I_0 nel centro del modello della diffrazione dipende dalla potenza totale P_0 incidente sull'apertura in questo modo:

I_0 = \frac{P_0 A}{\lambda^2 R^2}

Dove A è l'area dell'apertura (A=\pi a^2) ed R è la distanza dall'apertura. L'espressione di I(\theta) sopra si può integrare per ottenere la potenza totale contenuta nel modello della diffrazione dentro una circonferenza di dimensione data:

P(\theta) = P_0 [ 1 - J_0^2(ka \sin \theta) - J_1^2(ka \sin \theta) ]

Dove J_0 e J_1 sono funzioni di Bessel. Quindi le percentuali della potenza totale contenute all'interno del primo, secondo e terzo anello scuro (dove J_1(ka \sin \theta)=0) sono 83.8%, 91.0% e 93.8% rispettivamente.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]