Diagramma di Nyquist

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Un diagramma di Nyquist

Nell'ambito della teoria dei sistemi, con diagramma di Nyquist (anche chiamato Cole-Cole plot) si intende una particolare rappresentazione grafica della funzione di trasferimento di un sistema dinamico lineare stazionario. È un grafico utile nell'analisi dei sistemi di controllo retroazionati, specificatamente in relazione alla verifica della stabilità.

La rappresentazione avviene su un grafico in coordinate polari in cui sono disegnati il modulo e la fase della funzione di trasferimento al variare della frequenza angolare ω.

Questo diagramma combina in un solo piano di riferimento i due grafici che compongono il diagramma di Bode, ossia quello del modulo e quello della fase.

Il diagramma di Nyquist è uno dei metodi classici per valutare la stabilità di un sistema lineare. Negli ultimi anni questi metodi sono integrati con strumenti software per computer. Tuttavia restano un modo conveniente per un ingegnere per avere un'idea intuitiva del comportamento di un sistema.

Stabilità di un sistema retroazionato[modifica | modifica sorgente]

Si conviene che un sistema di controllo ad anello chiuso è stabile purché qualsiasi eventuale oscillazione transitoria presente venga alla fine a cessare ed il sistema raggiunga lo stato permanente di regime. Viceversa è detto instabile se l'oscillazione transitoria non si esaurisce mai, ma piuttosto aumenta in ampiezza fino a distruggere il sistema stesso oppure ad essere limitata dalle non linearità sistematiche.

Criterio di stabilità di Nyquist[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Criterio di Nyquist.

L'attitudine del grafico di Nyquist per la valutazione della stabilità dei sistemi retroazionati discende dal criterio di stabilità enunciato dallo stesso Nyquist che permette di valutare la stabilità di un sistema a retroazione dalla conoscenza del grafico polare della funzione G(jω)H(jω) ad anello reattivo aperto, quando il segnale perturbatore sia di tipo sinusoidale di frequenza variabile.

Costruzione del grafico[modifica | modifica sorgente]

Generalmente per costruire tale grafico si interrompe l'anello di retroazione del sistema considerato e si introduce un segnale a frequenza variabile. Il rapporto tra l'ampiezza del segnale in uscita e l'ampiezza del segnale in ingresso sia simboleggiato r, e la differenza di fase tra la fase del segnale in uscita e la fase del segnale in ingresso sia simboleggiata con θ. Il grafico che deriva dalla tracciatura in coordinate polari di r in funzione di θ, per tutte le frequenze dell'intervallo da -∞ a , costituisce il grafico di Nyquist.

La teoria a supporto di questo grafico polare di visualizzazione della funzione armonica del sistema è basata sulla Mappa conforme. Se traccio una curva chiusa, con un certo andamento e che non passi sui poli (le singolarità), nel dominio, anche nel codominio troverò (grazie alla teoria sopracitata) una curva chiusa.

Nella pratica si contano le circondazioni attorno l'origine. Per convenzione il senso antiorario è positivo per gli zeri e negativo per i poli.

R = Z - P

Dove R sono il numero di rotazioni nette positive in senso orario attorno al nostro punto, Z sono gli zeri interni al percorso chiuso, P sono i poli. La scelta della curva chiusa nel dominio deve essere fatta con astuzia, di solito include tutto il semipiano positivo incluso l'asse immaginario. Questa curva viene chiamata Cammino di Nyquist.

Per analizzare la stabilità a ciclo chiuso di una funzione con Nyquist allora possiamo procedere al disegno dello stesso in cinque comodi passaggi:

  • Tracciamo il Cammino di Nyquist in un piano di Gauss ove sono rappresentati Zeri e Poli
  • Guardiamo la F(jw)
  • Creiamo una tabella dove per i vari valori notevoli della w (frequenza) calcoliamo Modulo, Fase, Parte Reale e Parte Immaginaria
  • Grazie alla tabella sopracitata disegniamo il diagramma di Nyquist
  • Analisi della Stabilità e Considerazioni Finali ( N=Z-P )

Valutazione della stabilità[modifica | modifica sorgente]

Una volta tracciato il grafico polare occorre prendere in considerazione il punto P sull'asse reale negativo di coordinate -1+j0. Sotto le ipotesi più semplici il criterio di Nyquist stabilisce che il sistema in retroazione è stabile se il numero di giri, compiuti in senso antiorario, che il diagramma di Nyquist associato alla funzione di trasferimento compie attorno al punto P di coordinate -1+j0 risulta uguale al numero di poli con parte reale positiva della funzione di trasferimento stessa. Risulterà instabile nel caso opposto.

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