Diagramma commutativo

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In matematica, un diagramma commutativo è un diagramma comprendente vari oggetti e morfismi tra essi tale che, per ogni coppia di oggetti, ogni percorso che li collega produce la stessa applicazione finale (in termini di composizione di funzioni). I diagrammi commutativi giocano in teoria delle categorie il ruolo che hanno le equazioni in algebra.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Prendendo la definizione di prodotto tensoriale di due spazi vettoriali sintetizzata nell'immagine

DefinizioneProdottoTensoriale.png

si ha per definizione di V \otimes W che v\cdot w=\varphi(v\otimes w), cioè componendo l'applicazione \varphi dopo \otimes otteniamo esattamente \cdot: per questo motivo tale diagramma è commutativo.

Un esempio che coinvolge più di tre oggetti, sempre riguardante il prodotto tensoriale, è il seguente:

TesnsorProductConstruction.png

Questo diagramma è commutativo poiché s\circ i=\rho e f\circ \pi =s (da cui abbiamo anche f\circ\pi \circ i=\rho).

Ovviamente tale proprietà deve valere per ogni possibile "percorso" contenuto nel diagramma: se per esempio ogni funzione nel diagramma sopra ammettesse un'inversa, allora affinché tale diagramma fosse stato commutativo sarebbe dovuto valere anche \pi^{-1}=s^{-1} \circ f, \rho^{-1} \circ f=i^{-1}\circ \pi^{-1} e così via.

Altri progetti[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

(EN) Eric W. Weisstein, Diagramma commutativo in MathWorld, Wolfram Research.

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