Diagramma commutativo

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In matematica, un diagramma commutativo è un diagramma comprendente vari oggetti e morfismi tra essi tale che, per ogni coppia di oggetti, ogni percorso che li collega produce la stessa applicazione finale (in termini di composizione di funzioni). I diagrammi commutativi giocano in teoria delle categorie il ruolo che hanno le equazioni in algebra.

[modifica] Esempio

Prendendo la definizione di prodotto tensoriale di due spazi vettoriali sintetizzata nell'immagine

si ha per definizione di $V \otimes W$ che $v\cdot w=\varphi(v\otimes w)$ , cioè componendo l'applicazione $φ$ dopo $\otimes$ otteniamo esattamente $\cdot$ : per questo motivo tale diagramma è commutativo.

Un esempio che coinvolge più di tre oggetti, sempre riguardante il prodotto tensoriale, è il seguente:

Questo diagramma è commutativo poiché $s\circ i=\rho$ e $f\circ \pi =s$ (da cui abbiamo anche $f\circ\pi \circ i=\rho$ ).

Ovviamente tale proprietà deve valere per ogni possibile "percorso" contenuto nel diagramma: se per esempio ogni funzione nel diagramma sopra ammettesse un'inversa, allora affinché tale diagramma fosse stato commutativo sarebbe dovuto valere anche $\pi^{-1}=s^{-1} \circ f$ , $\rho^{-1} \circ f=i^{-1}\circ \pi^{-1}$ e così via.