Derivata

La retta L tangente in P al grafico C della funzione ha pendenza data dalla derivata della funzione in P

In matematica il concetto di derivata di una funzione è, insieme a quello di integrale, uno dei cardini dell'analisi matematica e del calcolo infinitesimale.

Descrizione

La derivata di una funzione in un punto è un numero che misura la pendenza (cioè il coefficiente angolare) della retta tangente alla curva nel punto.

Un modo semplice per capire cosa sia la derivata è guardare al suo significato geometrico: geometricamente la derivata di una funzione $f$ in un punto $x_0$ è il valore del coefficiente angolare, cioè la tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla retta tangente in un punto della curva di equazione $y=f(x)$ e il semiasse positivo delle ascisse. Da ciò si può comprendere che se la derivata è uguale a zero, la retta tangente alla curva di equazione $y=f(x)$ risulta parallela all'asse delle ascisse, mentre se la derivata tende a infinito, la retta tangente alla curva di equazione $y=f(x)$ è parallela all'asse delle ordinate.

La funzione derivata si ricava con una serie di operazioni algebriche note come regole di derivazione, applicabili universalmente a tutte le funzioni derivabili.

Nel caso di funzioni di più variabili la tangente in un punto alla curva della funzione non è unica, ma varia a seconda della direzione scelta (in linea di massima, può non essere possibile disegnare alcun grafico). Non si può più quindi definire una sola funzione delle stesse variabili indipendenti che renda conto della pendenza del grafico della funzione in un punto; si ricorre allora alle derivate parziali della funzione, cioè ai coefficienti angolari di tangenti considerate lungo direzioni parallele agli assi che rappresentano le variabili indipendenti; le derivate parziali sono evidentemente tante quante sono le variabili stesse, ed una loro notevole proprietà è che, se la funzione è sufficientemente "regolare" (cioè differenziabile) è possibile calcolare la tangente lungo una direzione qualunque combinando linearmente nel modo opportuno le derivate parziali stesse.

Questo è possibile perché l'"operatore derivata" è un operatore lineare, cioè la derivata di una combinazione lineare di funzioni derivabili è la combinazione lineare delle derivate delle singole funzioni, e la derivata del prodotto di uno scalare per una funzione è il prodotto dello scalare per la derivata della funzione.

Definizione e notazioni

In analisi matematica la derivata di una funzione reale di variabile reale f(x) nel punto x₀ è definita come il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento h, sotto l'ipotesi che tale limite esista e sia finito.

Più precisamente, una data funzione f(x) definita in un intorno di x₀ si dice derivabile nel punto x₀ se esiste ed è finito il limite:

${\mathop {\lim_{h \to 0}} {{f\left( {x_0 + h} \right) - f\left( x_0 \right)} \over h}}$

ed il valore di questo limite prende il nome di derivata della funzione nel punto x₀. Se la funzione f(x) è derivabile in ogni punto di un dato intervallo (a, b), allora si dice che essa è derivabile in (a, b), e la funzione f' (x) che associa ad ogni punto x la derivata di f in x è la funzione derivata di f.

La derivata nel punto x₀ viene indicata con uno dei seguenti simboli:

• Secondo la notazione di Lagrange

$f ^{\prime} (x_0)$

• Secondo la notazione di Cauchy - Eulero

$\operatorname D \left[{f}({x_0})\right]$

• Secondo la notazione di Leibniz:

$\frac {\mathrm{d} f(x_0)}{\mathrm{d} x}$

• La prima che compare storicamente:

$\left(\frac {\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} \right)_{(x_0)}$

ancora oggi usata in fisica.

• Secondo la notazione di Newton:

$\dot f(x_0)$

Derivata destra e derivata sinistra

Si chiama derivata destra di f in x₀ il:

$f'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}}$

Si chiama derivata sinistra di f in x₀ il:

$f'_-(x_0) = \lim_{h \to 0^-}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}}$

Una funzione è derivabile in x₀ se e solo se esistono finiti e uguali i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale per l'incremento che tende a zero..

Le derivate destra e sinistra permettono di definire la derivabilità su un intervallo non aperto: se f è definita ad esempio nell'intervallo chiuso [a, b], si dice che f è derivabile in [a, b] se è derivabile in ogni punto interno x in (a, b) e se esistono le derivate destra e sinistra rispettivamente negli estremi x=a e x=b.

Significato geometrico della derivata

La retta in rosso è la tangente alla funzione f(x) nel punto x₀

Il valore della derivata di $f(x)$ calcolata in $x_0$ ha, come si diceva sopra, un significato geometrico: è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva rappresentata dal grafico di $f(x)$, nel punto di coordinate $(x_0,f(x_0))$.

In altre parole, la derivata è il valore della tangente trigonometrica dell'angolo (convesso) che la retta tangente in $x_0$ al grafico della funzione forma con l'asse delle ascisse (a patto che tale angolo non sia retto).

L'equazione della retta tangente in $x_0$ risulta:

$y = f(x_0) + f '(x_0)(x-x_0) \$

Più precisamente, se $f(x)$ è derivabile nel punto $x_0$, allora esiste una funzione $o(x-x_0)$ definita in un intorno di $x_0$ tale che:

$f(x) = f(x_0) + f '(x_0) (x - x_0) + o(x-x_0) \$

con

$\lim_{x \to x_0}{{o(x-x_0)}\over{x-x_0}} = 0$

Infatti tale formula non è altro che l'espansione di Taylor di $f(x)$ troncata al termine di primo grado. Si dice che $o(x-x_0)$ è un o piccolo, o un infinitesimo di ordine superiore alla funzione $(x-x_0)$. Con questo si vuole esprimere l'idea che il termine $o(x-x_0)$ dà un contributo che diventa trascurabile rispetto agli altri termini quando ci si avvicina a $x_0$; si può anche dire che una funzione derivabile in $x_0$ è approssimabile linearmente intorno a $x_0$ con la sua retta tangente in tale punto.

Dimostrazione

Definiamo $o(x-x_0)$ con lo stesso dominio di f, come:

$o(x-x_0) = f(x) - f(x_0) - f ^{\prime}(x_0) (x - x_0)$

e verifichiamo che:

$\lim_{x \to x_0}{{o(x-x_0)}\over{x-x_0}} = \lim_{x \to x_0}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - f ^{\prime}(x_0)\right) (1)$

ricordiamo che per: $x \to x_0$ allora: $x-x_0 \to 0$ quindi:$h = x-x_0$

Sostituendo questa ultima uguaglianza con la (1) si ha:

$\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} - f ^{\prime}(x_0) = 0$

confermando la tesi, Q.E.D.

Teorema di continuità

Il teorema asserisce che se $f(x)$ è derivabile in x₀ allora $f(x)$ è anche continua in x₀.

Notiamo che l'inverso non è sempre vero: ad esempio, la funzione $f(x) = |x|$ è continua su tutto il dominio, ma non è derivabile nel punto x = 0, perché la derivata destra non coincide con la derivata sinistra. La continuità di una funzione è quindi condizione necessaria, ma non sufficiente, per determinarne la derivabilità. Una funzione può inoltre essere derivabile (e quindi continua) in un punto $p$, ma essere discontinua in ogni punto intorno a $p$; questo accade per funzioni come

$f(x) = \begin{cases} 0 \text{ se } x \in \mathbb{Q} \\x^2 \text{ se } x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$

che ammette derivata in 0 (vale 0 il limite del rapporto incrementale) ma non è continua in nessun punto eccetto lo 0. Notiamo che se invece una funzione è due volte derivabile in un punto, allora è continua in un intorno di quel punto.

Dimostrazione

La dimostrazione si effettua riprendendo l'uguaglianza precedente:

$f(x)= f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x - x_0) + o(x-x_0)$

da cui:

$\lim_{x \to x_0}f(x)= \lim_{x \to x_0}{f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x - x_0) + o(x-x_0)} = f(x_0).$

Quindi la funzione è continua in x₀, Q.E.D.

In effetti, la stima lineare della funzione attorno a $x_0$ costituisce una migliore approssimazione rispetto a

$f(x) = f(x_0) + o(1)\,$,

garantita dalla sola continuità (qui $o(1) \underset{x \to x_0}{\longrightarrow} 0$); se la funzione è derivabile in $x_0$, possiamo "scomporre" l'infinitesimo $o(1)$ in un termine lineare e un infinitesimo di ordine superiore.

Il teorema di Lagrange fornisce una diversa approssimazione (sempre lineare) nell'ipotesi che la funzione sia derivabile in un intorno di $x_0$:

$f(x) = f(x_0) + f^{\prime}(\xi)(x-x_0)$

per tutti gli $x$ in tale intorno, e con $\xi$ un dato punto in $(x_0, x)$ (o $(x, x_0)$, se è un intorno sinistro). Benché ora l'approssimazione sia "esatta" (non ci sono termini infinitesimi che vengono trascurati), il teorema non è in grado di dirci per quale $\xi$ sia vera l'uguaglianza.

Funzioni non derivabili

La funzione valore assoluto non è derivabile nell'origine, dove ha un punto angoloso

Una funzione continua può essere non derivabile. Ad esempio, una funzione continua può non essere derivabile in un punto isolato del dominio, in presenza di fenomeni di questo tipo:

• punto angoloso
• cuspide
• flesso a tangente verticale

Esistono anche funzioni continue che presentano forme più complesse di non derivabilità, come ad esempio la funzione di Cantor.

Derivata n-esima

La derivata n-esima f⁽ⁿ⁾ di una funzione f è la funzione che si ottiene derivando successivamente n volte la funzione f. Si parla quindi di derivata seconda, terza, ecc. e si usa generalmente una delle seguenti notazioni:

$f'' = f^{(2)} = \frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2}$ ,

$f''' = f^{(3)} = \frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}x^3}$ ,

...

$f^{(n)} = \frac{\mathrm{d}^nf}{\mathrm{d}x^n}$ .

Una funzione derivabile non è però necessariamente derivabile n volte: ad esempio, la seguente funzione ha una derivata prima, ma non una seconda:

$f(x) = x |x| \$

Infatti la derivata di f è f' (x) = 2 |x|, che non è a sua volta derivabile nell'origine.

La classe delle funzioni derivabili n volte e la cui derivata n-esima è continua si indica con $C^n$.

Teoremi

Vengono enunciati di seguito alcuni teoremi e risultati importanti.

Teorema di Fermat

Per approfondire, vedi la voce Teorema di Fermat sui punti stazionari.

• sia f(x) una funzione derivabile, e quindi continua, in un punto x₀
• sia x₀ un punto interno al dominio della funzione f
• sia x₀ un punto di massimo o di minimo della funzione f

allora la derivata della funzione in $x_0$ è nulla, cioè $f ' (x_0) = 0$.

Questo teorema è molto usato nello studio di funzione dato che definisce la possibilità di avere un punto di massimo o di minimo dove la funzione derivata si annulla.

Osservazioni

• non è indispensabile che x₀ sia interno al dominio: è sufficiente che sia di accumulazione da destra e da sinistra per il dominio.
• è essenziale l'ipotesi che la funzione sia derivabile nel punto x₀, in quanto non è possibile dedurre la derivabilità della funzione x₀ dalle altre ipotesi del teorema.

Ogni punto in cui la f'(x) si annulla (cioè è uguale a zero) è chiamato punto stazionario. I massimi e minimi relativi sono chiamati punti stazionari di $f'(x)$.

Teorema di Rolle

Per approfondire, vedi la voce Teorema di Rolle.

Sia f(x) una funzione continua nell'intervallo chiuso [a,b] e derivabile nell'intervallo aperto (a,b). Se f(a) = f(b) allora esiste almeno un punto x₀ appartenente all'intervallo aperto (a,b) di f'(x) dove la derivata prima si annulla.

Teorema di Lagrange

Per approfondire, vedi la voce Teorema di Lagrange.

Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b), allora esiste almeno un punto x₀ appartenente ad (a,b) per cui:

$f'(x_0) = {{f(b) - f(a)} \over {b-a}}$

Il teorema afferma che esiste almeno un punto del grafico della funzione (x₀,f(x₀)) in cui la retta tangente ha coefficiente angolare uguale a quello della corda della retta passante per i punti (a,f(a)) e (b,f(b)).

Questo teorema è una generalizzazione del precedente in quanto analizza il caso in cui f(a) è diverso da f(b), se invece f(a) è uguale a f(b) si ricade nel Teorema di Rolle.

Teorema di Cauchy

Per approfondire, vedi la voce Teorema di Cauchy (analisi matematica).

Siano f(x) e g(x) funzioni continue in [a,b] e derivabili in (a,b) con g'(x) diversa da 0 per ogni punto dell'intervallo, allora esiste almeno un punto x₀ appartenente ad (a,b) per cui:

${f'(x_0) \over g'(x_0)} = {{f(b) - f(a)} \over {g(b)-g(a)}}$

Considerando in particolare la funzione g(t) = t, si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.

Teorema crescenza-decrescenza

Per approfondire, vedi la voce Teorema di Lagrange#Monotonia a partire dalla derivata.

Sia f(x) continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Allora:

• $\forall x \in (a,b) \ f'(x) \geq 0$ se e solo se la funzione è crescente in (a,b)

• $\forall x \in (a,b) \ f'(x) \leq 0$ se e solo se la funzione è decrescente in (a,b)

La funzione può non essere strettamente crescente (o decrescente). Il teorema è direttamente ricavabile dall'enunciato di Lagrange. D'altra parte, valgono anche i fatti seguenti.

• Se $\forall x \in (a,b) \ f'(x) > 0$ allora la funzione è strettamente crescente in (a,b)

• Se $\forall x \in (a,b) \ f'(x) < 0$ allora la funzione è strettamente decrescente in (a,b)

Una funzione strettamente crescente non ha necessariamente derivata ovunque positiva. Ad esempio,

$f(x) = x^3$

è strettamente crescente, ma ha derivata nulla nell'origine (dove c'è un punto di flesso).

Teorema funzione costante

Una funzione è costante in un intervallo [a,b] se e solo se è derivabile e la derivata è ovunque nulla nell'intervallo.

Va osservato che, mentre la necessità è conseguenza della definizione di derivata (la derivata di una costante è uguale a zero), la sufficienza segue dal teorema di Lagrange.

Derivata di funzioni vettoriali

Una funzione vettoriale si dice derivabile nel punto x se esiste finito il limite

$\mathbf{f}'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{f}(x+h) - \mathbf{f}(x)}{h},$.

Essendo l'argomento del limite un vettore, anche il risultato sarà un vettore. La derivata di f coincide infatti con il vettore delle derivate delle sue componenti,

$\mathbf{f}'(x)=\langle f'_1(x),f'_2(x),...,f'_n(x)\rangle$.

Variazione nel tempo di un vettore

In un'altra notazione più spesso utilizzata in fisica un vettore $\vec v$ è descrivibile sempre da modulo v, e versore $\hat v$:

$\vec v = v \hat v$

L'operazione di derivazione nel tempo ad esempio nel suo caso più generale diventa:

$\frac{\mathrm{d}{\vec v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \hat v + v \frac{\mathrm{d}{\hat v}}{\mathrm{d}t}$

il primo termine avrà come modulo la derivata di $\,\! v$ nel tempo e come direzione e verso quello di $\vec v$. Il secondo termine sarà il prodotto del modulo del vettore per la derivata temporale del suo versore, la quale può essere trovata come segue (considerando il vettore $\Delta \vec \theta$ di modulo pari a $\Delta \theta$ e con versore uscente dal piano individuato da $\vec v(t)$ e $\vec v(t + \Delta t)$ in modo da formare una terna destrorsa).

Per approfondire, vedi la voce relazione di Poisson.

Derivate di funzioni di vettori

Per approfondire, vedi le voci derivata parziale, derivata direzionale e derivata totale.

Si introducono innanzitutto le derivate parziali, che esprimono la derivata in una componente del vettore variabile, e nel caso esistano tutte il gradiente, il vettore che contiene tutte queste derivate, potendo quindi introdurre il concetto di derivata direzionale.

Una funzione ammette derivate totali rispetto ad una componente solo se è differenziabile, cioè se ha un gradiente ed è quindi approssimabile localmente (al primo ordine) con una trasformazione lineare.

Convessità

Per approfondire, vedi la voce funzione convessa.

Sia $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ derivabile. Allora nello studio di funzione per effettuare lo studio della convessità di $f$ si sfrutta la condizione necessaria e sufficiente data dalla seguente proposizione:

$f(x)\text{ convessa}\Leftrightarrow f'(x)\text{ crescente in }[a,b]$

Se f possiede derivata seconda, allora questo si traduce nello studio della disequazione

$f''(x) \geq 0$

Dove si ha il cambiamento di segno della derivata seconda abbiamo un cambiamento di convessità della funzione e un relativo punto di flesso.

Derivata di una serie di potenze

Una funzione espressa come serie di potenze $\sum_{n=0}^\infty a_n X^n$ con raggio di convergenza r è continua e derivabile su tutto l'intervallo (-r, r). La derivata può essere calcolata derivando termine a termine la serie nel modo seguente:

$f'(x) = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}$

Questo tipo di derivata è importante per lo sviluppo di Taylor e Mc-Laurin.

Derivata formale

Per approfondire, vedi la voce Algebra differenziale.

In teoria degli anelli si introduce la nozione di derivata formale come un operatore unario $\partial$ tale che:

• $\partial(u + v) = \partial u + \partial v$ (l'operazione è lineare)
• $\partial (u \cdot v) = u \cdot \partial v + \partial u \cdot v$ (vale la regola di Leibniz).

Una applicazione è per esempio la derivata formale di un polinomio, sfruttata tra le altre cose in geometria algebrica.

Voci correlate

• Regole di derivazione
• Sviluppo di Taylor
• Regola di de l'Hôpital
• Integrale
• Derivata parziale
• Derivata mista
• Derivata direzionale
• Derivata di un vettore
• Classe C di una funzione
• Funzione differenziabile
• Derivazione complessa

Altri progetti

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• Commons

• Wikibooks contiene testi o manuali su Derivata
• Commons contiene file multimediali su Derivata

Collegamenti esterni

• WIMS Function Calculator calcolo delle derivate online; questo sito permette anche di fare esercizi interattivi
• Differenziazione calcolatrice
• (EN) Online Derivatives Calculator.
• Limite, derivate, integrali Directory con varie risorse sulle derivate

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