Densità di Schnirelmann

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In matematica, la densità di Schnirelmann di una successione di numeri interi è una misura della sua "densità". Tramite questa nozione è possibile affermare ad esempio che "vi sono più numeri dispari che quadrati", benché entrambi gli insiemi siano di cardinalità infinita. Il primo matematico a teorizzare tale densità fu Lev Genrikhovich Schnirelmann da cui appunto deriva il nome.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia  A un insieme di interi e sia  A(x) la funzione enumeratrice di  A , definita come:

A(x)=\sum_{a \leq x ; a \in A}^{}1

La densità di Schnirelmann di  A è quindi definita come

\sigma(A)=\inf_{n}\frac{A(n)}{n}

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La densità di Schnirelmann è un numero reale compreso tra zero e uno, che gode della seguente proprietà

\text{Se }k \notin A \text{ allora } \sigma A \le 1-1/k.

In particolare, se 1\notin A, allora  \sigma(A)=0.

Somme di insiemi e loro densità di Schnirelmann[modifica | modifica wikitesto]

Se  C è l'insieme somma di due insiemi  A e  B , definito come

C=\lbrace a+b : a \in A\cup\{0\} , b \in B\cup\{0\} \rbrace

allora il teorema di Schnirelmann afferma che

\sigma(C) \geq \sigma(A)+\sigma(B)-\sigma(A)\sigma(B).

Questo teorema è stato migliorato da Henry B. Mann che ha dimostrato che, se  C\neq\N , si ha

\sigma(C) \geq \sigma(A)+\sigma(B).
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