Densità di Schnirelmann

In matematica, la densità di Schnirelmann di una successione di numeri interi è una misura della sua "densità". Tramite questa nozione è possibile affermare ad esempio che "vi sono più numeri dispari che quadrati", benché entrambi gli insiemi siano di cardinalità infinita. Il primo matematico a teorizzare tale densità fu Lev Genrikhovich Schnirelmann da cui appunto deriva il nome.

Definizione

Sia $A$ un insieme di interi e sia $A(x)$ la funzione enumeratrice di $A$, definita come:

$A(x)=\sum_{a \leq x ; a \in A}^{}1$

La densità di Schnirelmann di $A$ è quindi definita come

$\sigma(A)=\inf_{n}\frac{A(n)}{n}$

Proprietà

La densità di Schnirelmann è un numero reale compreso tra zero e uno, che gode della seguente proprietà

$\text{Se }k \notin A \text{ allora } \sigma A \le 1-1/k.$

In particolare, se $1\notin A$, allora $\sigma(A)=0$.

Somme di insiemi e loro densità di Schnirelmann

Se $C$ è l'insieme somma di due insiemi $A$ e $B$, definito come

$C=\lbrace a+b : a \in A\cup\{0\} , b \in B\cup\{0\} \rbrace$

allora il teorema di Schnirelmann afferma che

$\sigma(C) \geq \sigma(A)+\sigma(B)-\sigma(A)\sigma(B).$

Questo teorema è stato migliorato da Henry B. Mann che ha dimostrato che, se $C\neq\N$, si ha

$\sigma(C) \geq \sigma(A)+\sigma(B).$

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