Delta-algebra

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In matematica, una δ-algebra (pronunciata delta-algebra) su di un insieme \Omega, è una famiglia di sottoinsiemi di \Omega che sia chiusa rispetto all'operazione di intersezione al più numerabile e di passaggio al complementare.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia  \Omega un insieme non vuoto, e sia  \mathfrak{G} una famiglia di sottoinsiemi di \Omega (ovverosia, un sottoinsieme dell'insieme delle parti di \Omega). Diremo che  \mathfrak{G} è una δ-algebra su  \Omega se:

  1. L'insieme vuoto \emptyset appartiene ad  \mathfrak{G} :  \emptyset \in \mathfrak{G} .
  2. Se un insieme  A è in  \mathfrak{G}, allora il suo complementare è in  \mathfrak{G} :  A \in \mathfrak{F} \Rightarrow A^c \in \mathfrak{G}.
  3. Se gli elementi  A_i di una famiglia numerabile di insiemi  \{A_i\}_{i \in \mathbb{N}} sono in  \mathfrak{G} , allora la loro intersezione è in  \mathfrak{G} :  A_i \in \mathfrak{G}, \forall i \in \mathbb{N} \Rightarrow \bigcap_{i \in \mathbb{N}} A_i  \in \mathfrak{G}.

Equivalenza tra δ e σ-algebre[modifica | modifica wikitesto]

Si dimostra che il concetto di δ-algebra coincide con il concetto di σ-algebra. Infatti, sia  \mathfrak{G} una δ-algebra su X. Per essere una σ-algebra deve essere chiusa rispetto al complementare e rispetto all'unione al più numerabile. La prima condizione è già soddisfatta, per la seconda. Sia \{ A_i \}_{i \in \mathbb{N}} una famiglia al più numerabile di insiemi della δ-algebra:

\bigcup_{i\in \mathbb{N}} A_i = \left[\bigcap_{i\in \mathbb{N}} A_i^C\right]^C

avendo usato il teorema di De Morgan. Ora A_i^C appartengono alla δ-algebra perché essa è chiusa rispetto al complementare. Essa è chiusa anche rispetto all'intersezione. Si conclude che è chiusa anche rispetto all'unione al più numerabile.

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