Decadimento beta

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In fisica nucleare il decadimento β è un tipo di decadimento radioattivo, ovvero una delle reazioni nucleari spontanee attraverso le quali elementi chimici radioattivi si trasformano in altri con diverso numero atomico.

Il processo coinvolge le forze nucleari deboli e determina l'emissione di particelle subatomiche ionizzanti secondo il principio di conservazione della massa/energia.

Storia[modifica | modifica sorgente]

Negli anni successivi alla scoperta della radioattività fu osservato un diverso comportamento delle particelle emesse dalle sostanze radioattive durante il decadimento. In molti casi gli strumenti di rivelazione mostravano la presenza di tracce simili a scie: quando era applicato un campo magnetico, le tracce provenienti da alcune sostanze radioattive avevano la curvatura rivolta verso lati opposti. Ai raggi associati alle tracce deviate in modo opposto fu convenzionalmente dato il nome di raggi alfa (oggi si utilizza più comunemente il termine radiazione alfa parlando delle particelle emesse in questo caso e dei loro effetti) e di raggi beta (oggi radiazione beta); i rimanenti presero il nome di raggi gamma (oggi radiazione gamma).

La natura delle particelle emesse e dei decadimenti è radicalmente diversa nei tre casi. La scoperta dei processi che avvengono all'interno del nucleo e danno luogo a questi decadimenti ha richiesto notevoli ricerche agli inizi del XX secolo. Queste ricerche hanno portato al rilievo che la scia emessa nel caso dei raggi beta è dovuta all'emissione di un elettrone. Il motivo per cui i tre tipi di raggi sono deviati in modo diverso dipende dalla diversa carica elettrica che hanno le particelle emesse: positive nel caso decadimento alfa (particelle alfa) e beta più (positroni), negative nel caso del decadimento beta meno (elettroni), e neutre nel caso del decadimento gamma (se si tratta di fotoni).

L'inquadramento teorico del decadimento beta fu realizzato da Enrico Fermi.

Oggi il decadimento e la radiazione vengono classificati come beta (β) non più in base alla carica della particella emessa, bensì in base al particolare tipo di processo nucleare che avviene tramite interazione debole. Normalmente il neutrone coinvolto si trova in un nucleo di un atomo e quello che si verifica, oltre alla emissione delle due particelle, è che l'atomo si trasforma in quello di un altro elemento, ovvero in quello con numero atomico (Z) successivo. La somma dei protoni e dei neutroni (A) all'interno del nucleo rimane invariata. A questo decadimento ci si riferisce con il nome di decadimento beta meno (β-) (si parla di meno perché l'elettrone emesso ha carica negativa).

Viene osservato anche il decadimento:

p \rightarrow n + e^+ +  \nu

in cui un protone legato si trasforma in un neutrone legato, un positrone ed un neutrino. Il positrone, che è l'antiparticella dell'elettrone ha carica positiva, pertanto questo decadimento viene indicato con il termine beta più (β+).

È importante sottolineare che il decadimento beta più può avvenire, per motivi cinematici di conservazione dell'energia), solo per nucleoni legati, mai quindi per protoni liberi.

Descrizione[modifica | modifica sorgente]

Secondo le attuali teorie accettate, il decadimento beta può avvenire in tre modi:

  • un neutrone (libero o meno) decade (trasmuta) in una coppia protone-elettrone più un antineutrino elettronico (decadimento beta meno). Il protone resta nel nucleo atomico, mentre le altre due particelle vengono espulse (emesse). Un esempio di decadimento beta meno è il decadimento del radionuclide cobalto-60 (instabile) nel nuclide nichel-60 (stabile), che segue questo schema:
{}^{60}_{27}\hbox{Co}\rightarrow {}^{60}_{28}\hbox{Ni} + e^- + \bar{\nu}_e
  • un protone (legato) decade (trasmuta) in una coppia neutrone-positrone più un neutrino elettronico (decadimento beta più). Secondo le attuali teorie questo tipo di decadimento può avvenire solo dentro ad alcuni nuclei. Sperimentalmente risulta che il protone libero è una particella stabile, ovvero spontaneamente non decade (secondo alcune teorie ancora non accettate invece il protone potrebbe decadere). Un esempio di decadimento beta più è il decadimento del radionuclide fluoro-18 (instabile) nel nuclide stabile ossigeno-18, che segue questo schema:
{}^{18}_{9}\hbox{F}\rightarrow {}^{18}_{8}\hbox{O} + e^+ + {\nu}_e
  • Un altro processo correlato, anche se non si tratta di decadimento, ma di cattura, è il:
p + e^- \rightarrow n  +  {\nu}_e
che è denominato cattura elettronica, perché comporta la cattura di un elettrone atomico da parte del nucleo, con l'emissione di un neutrino monoenergetico. Per certi versi quest'ultimo processo è simile a quello del decadimento beta più. Esempio di cattura elettronica è il decadimento del radionuclide iodio-123 (instabile) nel nuclide tellurio-123 (stabile), che segue questo schema:
{}^{123}_{53}\hbox{I}\rightarrow {}^{123}_{52}\hbox{Te} + {\nu}_e

Nel seguito si parlerà solo del decadimento beta meno, molto più frequente rispetto agli altri (a tal punto che spesso ci riferisce a questo con il solo nome di decadimento beta). Tuttavia gli stessi ragionamenti, con le dovute modifiche, valgono anche nel caso del decadimento beta più e in alcuni casi anche per la cattura elettronica.

Dato che i neutrini interagiscono debolmente con la materia, quando Marie Curie osservò per la prima volta questo tipo di decadimento lo associò alla sola emissione di un elettrone; fu Enrico Fermi che, seguendo un'idea di Wolfgang Pauli, introdusse l'idea del neutrino per risolvere un'apparente contraddizione fra i risultati sperimentali ed il principio di conservazione dell'energia (in realtà si tratta di conservazione della quantità di moto, sperimentalmente il nucleo non rinculava sulla stessa linea, direzione in cui veniva emesso l'elettrone).

La legge di conservazione dell'energia[modifica | modifica sorgente]

Il problema è abbastanza complesso e si cercherà di trattarlo in maniera qualitativa. Il decadimento che si osserva è quello del neutrone, che apparentemente decade in un protone ed in un elettrone:

np + e-

In questo caso, lo spettro dell'elettrone uscente dovrebbe essere una riga, poiché

mec2 (0,5 MeV) « mpc2 (938,3 MeV) circa mnc2 (939,6 MeV)

Supponendo che il neutrone sia fermo, si può ragionevolmente ritenere che anche il protone creato sia immobile, quindi l'unica particella a muoversi è l'elettrone. Quindi, per la conservazione dell'energia si ha:

mnc2 = Ep + Ee

con

E_p = \sqrt {m_p^2 c^4 + p_p^2 c^2}
E_e = \sqrt {m_e^2 c^4 + p_e^2 c^2}

Trascurando il rinculo del protone si ha:

m_n c^2 \sim m_p c^2 + \sqrt {m_e^2 c^4 + p_e^2 c^2}

dove l'unica incognita è l'impulso dell'elettrone e quindi lo spettro risulta una riga (in pratica si sarebbe dovuto osservare un picco).

Sperimentalmente, però, si osserva qualcosa di diverso: uno spettro completo che parte da 0 per salire, raggiungere un massimo e quindi ritornare ad annullarsi in corrispondenza di un valore massimo che è circa 5 volte e mezza la massa dell'elettrone.

Spettro del decadimento beta

Questo risultato portò enorme scompiglio nella comunità scientifica, e il primo a trovare una motivazione fu Bohr, che suggerì la presenza di una violazione nella conservazione dell'energia. In realtà sia Fermi, sia Pauli supponevano che il decadimento non fosse a due corpi, come osservato, ma a tre: ovvero i prodotti della reazione ci fosse una terza particella, piccolissima, di carica neutra e non rilevabile con le strumentazioni usuali: il neutrino.

La reazione, allora, deve essere corretta nel modo seguente:

n \rightarrow p + e^- + \bar \nu

mentre la conservazione dell'energia diventa:

m_n c^2 \sim m_p c^2 + \sqrt {m_e^2 c^4 + p_e^2 c^2} + p_\nu c

dove si trascura la massa del neutrino.

Appare evidente come, in questo caso, le variabili siano due e viene pertanto ovviamente spiegato lo spettro osservato come di un processo a tre e non a due corpi. Tra l'altro, ponendo nullo l'impulso del neutrino, si riesce a calcolare l'impulso massimo dell'elettrone che risulta coerente con il valore sperimentalmente trovato.

Il decadimento β è esotermico: avviene, cioè, spontaneamente, senza necessità di energia esterna per attivarsi. La vita media del neutrone è τn=887 s, e, ovviamente, si riferisce al neutrone libero: esso, infatti, all'interno del nucleo atomico, è assolutamente stabile.

Stima della rapidità di decadimento e della costante d'accoppiamento debole[modifica | modifica sorgente]

Il numero di elettroni che si misurano nel decadimento β può essere teoricamente stimato calcolando la rapidità del decadimento stesso. Si parte dalla regola d'oro di Fermi:

w_{i \rightarrow f} = \frac {2\pi}{\hbar} \left | \langle i | V | f \rangle \right |^2 \delta \left ( E_f - E_i \right )

dove Ef è l'energia finale ed Ei quella iniziale, mentre h è la costante di Planck.

L'elemento di matrice per l'interazione debole, posto gβ il potenziale, è:

\langle i | V | f \rangle \cong g_\beta \int_V \operatorname d^3 r \bar {u}_n (r) u_p (r) \frac {\operatorname e^{i \frac {p_e \cdot r}{\hbar}}}{L^{\frac {3}{2}}} \frac {\operatorname e^{i \frac {p_\nu \cdot r}{\hbar}}}{L^{\frac {3}{2}}}
\cong \frac {g_\beta}{L^3} \int_V \operatorname d^3 r \bar {u}_n u_p \cong \frac {g_\beta}{L^3}

e questo perché, poiché protoni e neutroni sono praticamente immobili e lo spazio a loro disposizione è dell'ordine del fermi, è necessario che r sia inferiore alla lunghezza d'onda Compton del protone:

r < \frac {\hbar}{m_p c}

e poiché l'impulso dell'elettrone è di molto inferiore alla massa del protone in energia (mpc) è facile vedere che

\frac {p_e r}{\hbar} << 1

Ora, il modo migliore per stimare la costante d'accoppiamento debole, è confrontarla con quella elettromagnetica, e quindi si scriverà:

g_\beta = f_\beta^2 \left ( \frac {\hbar}{m_p c} \right )^2

Poiché il numero di stati finali è

\frac {V}{(2\pi\hbar)^3} \operatorname d^3 p_e \frac {V}{(2\pi\hbar)^3} \operatorname d^3 p_\nu = \frac {V^2}{c (2\pi\hbar)^6} p_e^2 \operatorname d p_e \operatorname d \Omega_e p_\nu^2 \operatorname d E_f \operatorname \Omega_\nu

dove c è la velocità della luce e Ωe e Ων sono gli angoli solidi rispettivamente di elettrone e neutrino uscenti.

Poiché la rapidità è definita dall'integrale della wfi sugli stati finali

\Gamma = \int w_{f i} \frac {V}{(2\pi\hbar)^3} \operatorname d^3 p_e \frac {V}{(2\pi\hbar)^3} \operatorname d^3 p_\nu

il numero di elettroni rilevati sarà

\frac {\operatorname d \Gamma}{\operatorname d p_e} = \frac {1} {(2\pi)^3} \left ( \frac {f_\beta}{\hbar c} \right )^2 \left ( \frac {m_p c^2}{\hbar} \right )^2 \frac {p_e^2 p_\nu^2}{\left (m_p c \right )^5} \sim p_e^2 \left ( \sqrt {p_{e max}^2 + m_e^2 c^2} - \sqrt {p_e^2 + m_e^2 c^2} \right )

dove

p_\nu = p_e^2 \left ( \sqrt {p_{e max}^2 + m_e^2 c^2} - \sqrt {p_e^2 + m_e^2 c^2} \right )

e la funzione trovata è compatibile con lo spettro sperimentale rilevato (il calcolo, però, non è perfetto in quanto si sarebbe dovuto integrare anche sull'angolo solido, ma per questo studio qualitativo si è interessati solo a stime di ordine di grandezza).

Alla fine, comunque, la rapidità di transizione sarà una costante moltiplicata per l'integrale del prodotto degli impulsi al quadrato di elettrone e protone, valutabile come una potenza 5 della massa dell'elettrone:

\int \operatorname d p_e p_e^2 p_\nu^2 = \left (m_e c \right )^5

ottenendo

\Gamma = \frac {1} {(2\pi)^3} \left ( \frac {f_\beta}{\hbar c} \right )^2 \left ( \frac {m_p c^2}{\hbar} \right )^2 \left ( \frac {m_e}{m_p} \right )^5

In questa equazione si conosce tutto, a parte , la costante d'accoppiamento debole (la rapidità, infatti, è l'inverso della vita media) e sostituendo i valori di tutte le costanti si ottiene:

\frac {f_\beta}{\hbar c} = 10^{-5}

che è tre ordini di grandezza inferiore rispetto a quella elettromagnetica:

\frac {e^2}{\hbar c} \cong 10^{-2}.

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Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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