Curva quartica

In matematica una curva quartica è una curva algebrica piana di quarto grado. Può essere definita da un polinomio della forma:

$Ax^4+Bx^3y+Cx^2y^2+Dxy^3+Ey^4+Fx^3+Gx^2y+Hxy^2+Iy^3+Jx^2+Kxy+Ly^2+Mx+Ny+O=0.$

Una curva quartica (n=4) irriducibile può avere al massimo:

(n-1)(n-2)/2 + 1 = 4 componenti connesse;

(n-1)(n-2)/2 = 3 punti doppi;

n(n-2)(n-3)(n+3)/2 = 28 rette bitangenti;

3n(n-2) = 24 punti di flesso.

L'equazione ha 15 coefficienti, ma la curva non cambia se li moltiplichiamo tutti per una costante non nulla. Quindi i coefficienti essenziali sono 14 e le quintiche sono ∞$^{14}$. E una di esse è individuata dal suo passaggio per 14 punti generici.

Esempi

• Curva a uovo storto

$x^4 + y^4 + 2x^2y^2 - x^3 - y^3 = 0$

• Curva a uovo dritto

$5x^4 + y^4 + 10x^2y^ 2 - y = 0$

• Curva a fagiolo o a pisello

$x ^ 4 + y ^ 4 + x ^ 2 y ^ 2- x (x ^ 2 + y ^ 2)$

• Curva a fiocco

$x ^ 4 + y ^ 3 - x ^ 2 y = 0$

• Curva intrecciata

$(x^2 + y^2)^2 - 2 x^3 - 6 y^2 x + x^2 = 0$

• Curva a nodo

$(x ^ 2 - 1) ^ 2 - y ^ 2 (2 y + 3) = 0$

• Campila di Eudosso

$x ^ 4 - x ^ 2 - y ^ 2 = 0$

• Curva cardioide

$(x^2 + y^2 - x)^2 - x^2 - y^2 = 0$

• Curva Ampersand trinodata

$(y^2 - x^2)(x - 1)(2x - 3) - 4(x^2 + y^2 - 2x) ^ 2 = 0$

• Curva di Jerabek

$(x^2 + y^2) (x - 1)^2 - 4 (x^2 + y^2 - x)^2=0$

• Curva a svastica

$x ^ 4 - y ^ 4 - x y = 0$

• Ovale di Mandelbrot

$(x ^ 2 + y ^ 2 + x) ^ 2 + y ^ 2 - 4 = 0$

• Curva bicuspidata

$(x^2 - 1)(x - 1)^2 + (y^2 - 1)^2 = 0$

• Curva deltoide tricuspidata o di Steiner

$(x^2 + y^2)^2 + 18(x^2 + y^2) - 8(x^3 - 3xy^2) - 2= 0$

• Curva di Wassenaar

$(x ^ 2 - y) ^ 2 + a x ^ 2 - 1=0$

• Curva Capricornoide

$a^2 x^2 (x^2 + y^2) - b (a y - x^2 - y^2)^2 =0$

• Curva cruciforme

$x^2y^2 -a^2(x^2 +y^2) = 0$

• Sezione spirica o di Perseo

$(x^2 + y^2)^2 + dx^2 + ey^2 + f = 0$

• Sezione torica

$(x^2 + y^2)^2 + ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0$

• Ovali di Cartesio

$[(1-a^2)(x^2+y^2)+2a^2bx+c^2-a^2b^2]^2-4c^2(x^2+y^2)= 0$

• Ovali di Cassini

$(x^2+y^2+a^2)^2-4a^2x^2-b^4 = 0$

• Curva a 8 flessi

$x^4 + y^4 - x^2y^2 - x^2 - y^2 = 0$

• Pedali del cerchio

$(x^2+y^2-ux-vy)^2-a^2[(x-u)^2+(y-v)^2]=0$

ove il cerchio è $x^2+y^2=a$ e il punto pedale è (u,v)

• Pedali dell'ellisse

$a^2(x-u)^2-[(y-v)(y-b)-xu+x^2][(y-v)(y+b)-xu+x^2]^2[2v^2(a^2-b^2+u^2)+(b^2-a^2+u^2)^2+v^4]=0$

ove l 'ellisse è $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ e il punto pedale è (u,v)

• 

  Curva a uovo storto

• 

  Curva a uovo dritto

• 

  Curva a fagiolo o a pisello

• 

  Curva a fiocco

• 

  Curva intrecciata

• 

  Curva a nodo

• 

  Campila di Eudosso

• 

  Curva cardioide

• 

  Curva Ampersand trinodata

• 

  Curva di Jerabek

• 

  Curva a svastica

• 

  Ovale di Mandelbrot

• 

  Curva bicuspidata

• 

  Curva deltoide o tricuspidata o di Steiner

• 

  Curva di Wassenaar

• 

  Curva Capricornoide

• 

  Curva cruciforme

• 

  Sezione spirica o di Perseo

• 

  Sezione torica

• 

  Ovali di Cartesio

• 

  Ovali di Cassini

• 

  Curva a 8 flessi

• 

  Pedali del cerchio

• 

  Pedali dell'ellisse

In Geometria descrittiva

quartica monogrammica risultante dell'intersezione tra cilindro e sfera

Nella generalità dei casi, la quartica e' una curve d’intersezione tra superfici quadriche. I punti di questa quartica si ottengono come punti comuni a sezioni complanari di tali superfici eseguite con un fascio di piani.

Le dette quartiche d'intersezione possono classificarsi secondo le seguenti situazioni reciproche:

• 1. Quando soltanto alcune generatrici di una superficie sono secanti l’altra, per cui la quartica in comune è formata da un solo ramo e viene detta monogrammica.
• 2. Quando tutte le generatrici di una superficie sono secanti l’altra. la quartica comune è composta da due rami detta digrammica.
• 3. Finestra di Viviani, un caso particolare di quartica digrammica, in cui una generatrice di una delle due superfici intersecanti, tange l'altra.

Le quartiche possono ammettere uno o due piani di simmetria, e questo dipende dalla reciproca posizione degli assi delle due superfici. Per esempio se gli assi sono complanari, la quartica d’intersezione ammette un piano di simmetria, la giacitura dell’altro piano di simmetria si riscontra nei casi in cui gli assi sono perpendicolari tra di loro.

La determinazione dei punti costituenti la quartica avviene con l’ausilio di un fascio di piani ausiliari secanti le due superfici. la scelta della giacitura di detti piani è fatta col fine di avere delle sezioni semplici da rappresentare. Ad esempio le sezioni con piani ortogonali all'asse di rotazione sono circonferenze e vengono rappresentate senza difficoltà se detto asse è perpendicolare ad uno dei piano di proiezione principali, altrimenti, si assumono altri piani di proiezione, ausiliari, di cui almeno uno abbia la giacitura perpendicolare all'asse; le sezioni proiettate su questi piani ausiliari risultano in vera forma

Voci correlate

• Curva quintica
• Curva sestica

Collegamenti esterni

• (EN)Breve definizione delle curve quartiche

• Programma per tracciare le curve quartiche

• Casi d'intersezione tra superfici di rotazione

Altri progetti

• Commons

• Commons contiene file multimediali su Curva quartica

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica