Criterio di condensazione di Cauchy

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In matematica, il criterio di condensazione di Cauchy è un criterio di convergenza per serie, che prende il nome da Augustin-Louis Cauchy. Afferma che, per una successione non negativa e non crescente a_n, la somma

\sum_{n=1}^{\infty}a_n

converge se e solo se converge la somma

\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}a_{2^{n}}

ovvero queste due serie hanno lo stesso carattere. Se entrambe convergono, inoltre, vale la disuguaglianza

\sum_{n=1}^{\infty}a_n \leq \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}a_{2^{n}} \leq 2 \sum_{n=1}^{\infty}a_n.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia a_n una successione non negativa e non crescente di numeri reali. La dimostrazione si basa sul raccogliere i termini della serie in gruppi di lunghezza 2n, stimando poi ogni gruppo in modo da passare da una serie all'altra. Se la serie iniziale converge, allora

\begin{align}
\sum_{n=1}^{\infty} a_n & = a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+\cdots +a_{2^n}+a_{2^n+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}+\cdots \\
 & = a_1+\underbrace{a_2+a_3}_{\leq a_2+a_2}+\underbrace{a_4+a_5+a_6+a_7}_{\leq a_4+a_4+a_4+a_4}+\cdots +\underbrace{a_{2^n}+a_{2^n+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}}_{\leq a_{2^n}+a_{2^n}+\cdots +a_{2^n}}+\cdots \\
 & \leq a_1 + 2 a_2 + 4 a_4 + \cdots + 2^n a_{2^n} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n}.
\end{align}

e quindi converge anche la seconda serie; è stato sfruttato in maniera essenziale il fatto che la successione è non crescente, e quindi, ogni volta che n < m, si ha a_n>a_m oppure a_n=a_m. In maniera simile, possiamo stimare la serie "condensata" come

\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n} & = \underbrace{a_1+a_2}_{\leq a_1+a_1}+\underbrace{a_2+a_4+a_4+a_4}_{\leq a_2+a_2+a_3+a_3}+\cdots +\underbrace{a_{2^n}+a_{2^{n+1}}+\cdots +a_{2^{n+1}}}_{\leq a_{2^n}+a_{2^n}+a_{(2^n+1)}+a_{(2^n+1)}+\cdots +a_{(2^{n+1}-1)}}+\cdots \\
 & \leq a_1 + a_1 + a_2 +a_2 + a_3 + a_3 + \cdots + a_n + a_n + \cdots = 2 \sum_{n=1}^{\infty} a_n.
\end{align}

e quindi anche la serie iniziale converge. Attraverso la dimostrazione abbiamo ottenuto anche la stima

\sum_{n=1}^{\infty} a_n \leq \sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^{\infty} a_n.

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Una generalizzazione di questo criterio è stata trovata da Schlömilch: sia an una successione non crescente e positiva, e sia un una successione strettamente crescente di interi positivi tale che

\frac{u_{n+1}-u_n}{u_n-u_{n-1}}

è limitata. Allora la serie \sum_{n=0}^{\infty} a_n converge se e solo se converge

\sum_{n=0}^{\infty} {\Delta u_n} a_{u_n} = \sum_{n=0}^{\infty} (u_{n+1}-u_n) a_{u_n}

Se prendiamo u_n = 2^n, si ha u_n-u_{n-1}=2^{n-1}, riottenendo così il criterio di condensazione come caso particolare.

In generale notiamo che se prendiamo  u_n = k^n , con k > 1, allora u_n soddisfa le condizioni di cui sopra e si ha che \sum_{n = 0}^\infty a_n converge se e solo se converge la serie \sum_{n = 0}^\infty k^na_{k^n}

Uso[modifica | modifica wikitesto]

Il criterio è specialmente utile nel caso di serie in cui sono presenti dei logaritmi, che vengono "trasformati" attraverso la condensazione in serie armoniche generalizzate, che sono più semplici da trattare. Ad esempio, nel caso della serie

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n (\ln n)^a (\ln \ln n)^b}

una prima applicazione del criterio fornisce la serie

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{2^n (\ln e^{n\ln 2})^a (\ln\ln e^{n\ln 2})^b}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^a (\ln n)^b(\ln 2)^a(\ln\ln 2)^b}

che converge per a > 1 e diverge per a < 1; nel caso limite a = 1 un'ulteriore applicazione del criterio fornisce (a meno di una costante)

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^b}

che converge per b > 1 e diverge negli altri casi.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Khoury Bonar (2006). Real Infinite Series. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-745-6.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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