Criterio di Dirichlet (matematica)

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Nel contesto dell'analisi matematica, il criterio di Dirichlet è un metodo per determinare la convergenza di particolari serie numeriche.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia \{a_n\} una successione di numeri complessi e \{b_n\} una successione di numeri reali:

  • b_1 \ge b_2 \ge \cdots > 0
  • \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = 0
  • \left|\sum^{N}_{n=1}a_n\right|\leq M per ogni intero positivo N

dove M è indipendente dalla scelta di N.

Allora[1]

\sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n

converge in  \mathbb{C} .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia A_n = \sum_{i=0}^{n}{a_i}, e sia M \in \R tale che M \ge |A_n| \forall n. Allora, fissato un \varepsilon > 0 esiste un intero N tale che b_N \le \frac{\varepsilon}{2M}. Per ogni N \le m \le n si ha allora, per parti[1]:

\left|\sum_{i=m}^{n}{a_i b_i}\right| = \left|\sum_{i = m}^{n-1}{A_i(b_i-b_{i+1})} + A_n b_n - A_{m-1}b_m \right| \le M\left|\sum_{i=m}^{n-1}{(b_i - b_{i+1})} + b_n + b_m \right| = 2Mb_m \le 2Mb_N \le \varepsilon.

Per il criterio di Cauchy, quindi, la serie è convergente, Q.E.D.

Corollari[modifica | modifica wikitesto]

Criterio di Leibniz[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Criterio di Leibniz.

Il criterio di Dirichlet è una evidente generalizzazione del Criterio di Leibniz, dove la successione \{a_n\} è la successione (-1)^{n}[2].

Convergenza di una serie di potenze[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Raggio di convergenza.

Sia \sum{b_i z^i} una serie di potenze il cui raggio di convergenza è 1, e sia \{b_n\} una successione non crescente e infinitesima per n \to \infty. Allora la serie di potenze converge in tutti i punti del cerchio C = \{z \in \mathbb{C} : |z|=1\} tranne al più in z=1[2].

Sia infatti \{a_n\} = z^n; si ha, per z \ne 1:

|A_n| = \left|\sum_{i=0}^{n}{z^i}\right|=\left|\frac{1-z^{n+1}}{1-z}\right| \le \frac{2}{|1-z|},

quindi la serie \sum{a_i b_i} = \sum{b_i z^i} converge per il criterio di Dirichlet.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Rudin, pagg. 70-71.
  2. ^ a b Rudin, pag. 71

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, A. A. Arthur, S. L. Langman, 1976, p. 70, ISBN 0-07-054235-X..

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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