Criterio di Cartan

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In matematica, il criterio di Cartan è una condizione che, se soddisfatta, prova che un'algebra di Lie è risolubile. Questo implica anche l'esistenza di un criterio per provare che un'algebra di Lie è semisemplice. E' basato sulla nozione di forma di Killing, ed è stato introdotto da Élie Cartan nel 1894.

Criterio di Cartan per la risolubilità[modifica | modifica wikitesto]

Il criterio afferma che:

Sia \mathfrak{g} un'algebra di Lie formata da endomorfismi, ovvero sottoalgebra dell'algebra generale lineare GL(V) definita su uno spazio vettoriale V di dimensione finita, su un campo F di caratteristica zero. Allora \mathfrak{g} è risolubile se e solo se per ogni a\in\mathfrak{g},b\in[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]. si ha Tr(ab)=0.

Applicando il criterio di Cartan alla rappresentazione aggiunta, si ottiene un risultato più generale:

Sia \mathfrak{g} un'algebra di Lie di dimensione finita su un campo F di caratteristica zero. Allora \mathfrak{g} è risolubile se e solo se K(\mathfrak{g},[\mathfrak{g},\mathfrak{g}])=0, dove K è la forma di Killing di \mathfrak{g}

Criterio di Cartan per la semisemplicità[modifica | modifica wikitesto]

Una conseguenza del criterio è il seguente criterio per la semisemplicità:

Sia \mathfrak{g} un'algebra di Lie di dimensione finita su un campo F di caratteristica zero. Allora \mathfrak{g} è semisemplice se e solo se la sua forma di Killing è non-degenere

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
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