Costruzione dei sottoinsiemi

Nella teoria dei linguaggi formali, la costruzione dei sottoinsiemi o subset construction è la tecnica di costruzione dell'automa a stati finiti deterministico equivalente ad un automa a stati finiti non deterministico.

Equivalenza tra automa deterministico e non deterministico

Dato un automa a stati finiti non deterministico

$NFA=\left\{ Q_{N},\Sigma,\delta_{N},q_{0},F_{N}\right\}$,

è possibile determinare un automa a stati finiti deterministico equivalente

$DFA=\left\{ Q_{D},\Sigma,\delta_{D},\left\{ q_{0}\right\} ,F_{D}\right\}$,

tale che $L\left(NFA\right)=L\left(DFA\right)$. L'insieme di stati diventa

$Q_{D}=\mathcal{P}\left(Q_{N}\right)\Rightarrow\left|Q_{D}\right|=2^{\left|Q_{N}\right|}$,

l'insieme degli stati finali

$F_{D}=\left\{ s\in Q_{D}|s\cap F_{N}\neq\emptyset\right\}$

mentre la nuova funzione di transizione si calcola come:

$\delta_{D}\left(s,a\right)=\bigcup_{p\in s}\delta_{N}\left(p,a\right),\forall s\in Q_{D}$

dove la funzione $\mathcal{P}\left(\cdot\right)$ indica l'insieme delle parti. È possibile dimostrare che l'automa deterministico così definito risulta essere equivalente all'automa non deterministico a partire dal quale è costruito. Entrambi gli automi riconoscono quindi lo stesso linguaggio.

Algoritmo di costruzione per sottoinsiemi

L'algoritmo per la costruzione dell'automa equivalente discende direttamente dalla definizione dell'automa. La definizione della funzione di transizione $\delta$ viene valutata per ogni elemento appartenente al dominio $Q_{D}$, ossia per tutti i possibili sottoinsiemi di $Q_{N}$.

Lazy evaluation

È possibile che la costruzione dell'automa equivalente tramite l'algoritmo di costruzione per sottoinsiemi possa portare alla definizione di stati non accessibili, la cui presenza risulta ridondante e che porta ad un eccesso di calcolo che può essere ridotto. La lazy evaluation permette di evitare i calcoli necessari a definire gli stati che non sono raggiungibili dall'automa. Tale algoritmo viene definito induttivamente non prendendo in considerazione tutti gli elementi dell'insieme della parti.
Base: $\left\{q_{0}\right\}$ è uno stato accessibile.
Ipotesi induttiva: $s$ stato accessibile.
Passo induttivo: $\forall a\in\Sigma$, $\delta\left(s,a\right)$ accessibile.
La lazy evaluation porta alla determinazione di tutti e soli gli stati accessibili. La definizione della funzione di transizione può essere quindi eseguita solo su tali stati.

Voci correlate

• Automa a stati finiti
• Linguaggio regolare

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