Costruttivismo matematico

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Nella filosofia della matematica, il costruttivismo afferma la necessità di trovare o costruire un oggetto matematico per dimostrare la sua esistenza. Se dall'assunto che un oggetto con determinate caratteristiche non esista si ricava una contraddizione, ancora non si è trovato l'oggetto in esame e quindi secondo i costruttivisti non si è dimostrata la sua esistenza.

Il costruttivismo spesso viene confuso con l'intuizionismo, ma in effetti l'intuizionismo è solo un genere di costruttivismo. L'intuizionismo sostiene che i fondamenti della matematica stanno nella intuizione individuale del matematico, facendo quindi della matematica un'attività intrinsecamente soggettiva. Il costruttivismo non afferma questo, ma al contrario si trova in completa consonanza con una visione oggettiva della matematica.

Matematica costruttivista[modifica | modifica sorgente]

La matematica costruttivista si serve della logica costruttivista, che identifica strettamente la verità con la dimostrabilità. Per dimostrare \,P \or Q costruttivamente si deve dimostrare almeno una delle due proposizioni \,P e \,Q. Per dimostrare costruttivamente \,\exists x\in X\ P(x) si deve individuare un particolare \,a\in X insieme ad una dimostrazione di \,P(a). Per dimostrare costruttivamente \forall x\in X\ P(x) si deve presentare un algoritmo che prende in considerazione un qualsiasi x\in X ed emette una dimostrazione di \,P(x).

Il costruttivismo inoltre rifiuta l'utilizzo di oggetti infiniti, come gli insiemi infiniti e le successioni.

Esempio dall'analisi reale[modifica | modifica sorgente]

Nell'analisi reale classica, un procedimento per costruire un numero reale si serve di una coppia di successioni di Cauchy di numeri razionali. Questa costruzione non è accettata dalla matematica costruttivista, in quanto le successioni sono entità infinite.

È invece lecito rappresentare un numero reale come un algoritmo \,f che letto un intero positivo \,n, è in grado di produrre una coppia di razionali \,(f_\ell(n), f_r(n)) tali che

m \le n \implies f_\ell(m) \le f_\ell(n)\le f_r(n) \le f_r(m)
0 \le f_r(n) - f_\ell(n) \le {1\over n}

in modo che al crescere di \,n, l'intervallo \,[f_\ell(n), f_r(n)] diventi più ristretto e la intersezione dei primi \,n di questi intervalli non sia vuota. L'algoritmo \,f può essere utilizzato per calcolare approssimazioni razionali tanto vicine quanto si vuole al numero reale da rappresentare.

Con una tale definizione costruttivista, il numero reale \sqrt{2} può essere rappresentato da un algoritmo che calcola per ogni \,i = 0, 1, ..., n il più grande \,a_i tale che a_i^2 \le 2i^2 e quindi emette la coppia \left(\mathrm{max}\left\{{a_i \over i}\right\}, \mathrm{min}\left\{{a_i+1 \over i}\right\}\right).

Questa definizione corrisponde alla definizione classica che si serve delle successioni di Cauchy, eccettata la richiesta che le successioni siano costruttive: cioè si dispone di un algoritmo per il calcolo dell'\,n-esimo elemento della successione e quindi un algoritmo in grado di calcolare una approssimazione razionale accurata quanto si vuole di \,\sqrt{2}.

Va rilevato che la richiesta costruttiva rende la precedente definizione inconsistente con le usuali definizioni non-costruttive dei numeri reali: dato che ogni algoritmo \,\xi deve necessariamente essere presentato da una sequenza finita su un insieme finito di istruzioni \,\Sigma, allora esiste una funzione biiettiva \,f: \Sigma^* \rightarrow \mathbb N. Quindi l'insieme di tutti gli algoritmi ha la stessa cardinalità dell'insieme dei numeri naturali. Servendosi di argomentazioni non-costruttive, l'argomento diagonale di Cantor dimostra che i l'insieme dei numeri reali ha una cardinalità superiore a quella dei numeri naturali.

Atteggiamento dei matematici[modifica | modifica sorgente]

Tradizionalmente i matematici militanti sono stati sospettosi, se non addirittura antagonistici, nei confronti del costruttivismo matematico; questo è dovuto largamente alle limitazioni che questo atteggiamento impone all'analisi costruttiva.

Questi punti di vista sono stati espressi con forza da David Hilbert nel 1928, quando nei Die Grundlagen der Mathematik ha scritto "Eliminare il principio del terzo escluso per il matematico sarebbe lo stesso che, per così dire, vietare l'uso del telescopio all'astronomo o l'uso dei pugni al pugilatore". (Traduzione dalla voce mathematics-constructive della Stanford Encyclopedia of Philosophy.) In effetti il principio del terzo escluso non è valido nella logica costruttivista.

Errett Bishop, nella sua opera del 1967 Foundations of Constructive Analysis, ha lavorato al fine di dissipare questi timori sviluppando in un quadro costruttivo una vasta mole di risultati dell'analisi tradizionale. Tuttavia non tutti i matematici giudicano che il lavoro di Bishop sia probatorio, in quanto la sua esposizione risulta necessariamente più complicata di quella che si trova nei testi di analisi classica. In ogni caso la gran parte dei matematici non vede la necessità di costringersi a seguire metodi costruttivisti, anche se ritiene lecito che essi siano praticati.


Matematici che hanno contribuito al costruttivismo[modifica | modifica sorgente]

Branche della matematica costruttivista[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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