Costante di Mills

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Costante di Mills
Simbolo θ
Valore 1,30637788386308069046861 ... (assumendo l'ipotesi di Riemann)
(sequenza A051021 dell'OEIS)
Origine del nome William H. Mills
Frazione continua [1; 3, 3, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 2, 35, 21, ...] (assumendo l'ipotesi di Riemann)
(sequenza A123561 dell'OEIS)
Campo numeri reali

In matematica, si definisce costante di Mills il numero reale positivo \theta tale che la funzione

f(n) = \lfloor \theta^{3^n} \rfloor

generi numeri primi per ogni n intero positivo, dove \lfloor \theta^{3^n} \rfloor indica la funzione parte intera di \theta . L'esistenza di una costante di questo tipo è stata provata nel 1947 da Mills; il che lo portò ad enunciare il teorema di Mills.

Assumendo l'ipotesi di Riemann, il valore della costante, approssimato a 20 cifre decimali, è

 \theta \approx 1.30637788386308069046...,

mentre i numeri primi generati dalla costante di Mills sono

 2, 11, 1361, 2521008887...

(Sequenza A051245 dell'OEIS), e sono chiamati primi di Mills.

Approssimazioni della costante di Mills[modifica | modifica wikitesto]

Non si conosce una formula chiusa per la costante di Mills, il che ne rende impossibile l'approssimazione a priori. Quel che è possibile fare è determinare la successione dei primi di Mills tramite una stima del valore della costante, e da questi ricavarne un valore maggiormente preciso.

Nel 2005 Chris Caldwell e Yuan-You Cheng [1] trovarono però un metodo per calcolare circa 7000 cifre di \theta (assumendo l'ipotesi di Riemann): partendo dalla successione dei primi di Mills (sopra menzionati), ricavati mediante una non definitiva approssimazione della costante, dimostrarono che è possibile calcolare i successivi primi della successione e tramite una generalizzazione del Teorema di Mills, anziché usando la costante di Mills. Calcolati così altri primi di Mills più grandi (p_n), è possibile approssimare più precisamente \theta , tramite la formula:

\theta = \lim_{n \to \infty}\sqrt[3^n]{p_n}.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Chris Caldwell e Yuanyou Cheng, Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem in Journal of Integer Sequences, vol. 8, 2005. URL consultato il 2009.06.23.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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