Convergenza in misura

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In analisi matematica, la convergenza in misura (detta anche convergenza in probabilità) è un tipo di convergenza di successioni di funzioni, che esprime il fatto che l'insieme su cui la successione è lontana dalla funzione limite tende a diventare sempre più piccolo. Formalmente, una successione {fn} di funzioni da uno spazio di misura (X,\Sigma,\mu) ad \mathbb{R} converge in misura ad f se, per ogni ε,

\lim_{n\to\infty}\mu(\{x: |f_n(x)-f(x)|>\varepsilon\})= 0\;

Una successione fn può convergere in misura a due distinte funzioni f e g, ma in tal caso f e g sono uguali quasi ovunque; in effetti, se fn converge in misura ad f, converge in misura anche a tutte le g tali che f e g sono uguali quasi ovunque.

Su insiemi di misura finita, la convergenza in misura è piuttosto debole: è infatti implicata sia dalla convergenza puntuale quasi ovunque che dalla convergenza in norma Lp, ma non implica né l'una né l'altra; tuttavia, se {fn} converge in misura ad f, allora esiste una sottosuccessione {fnk} che converge quasi ovunque ad f. Nel caso di insiemi di misura infinita, la convergenza Lp implica ancora la convergenza in misura, mentre la convergenza puntuale no; un esempio è la successione formata dalle funzioni indicatrici degli intervalli [n,n + 1].

Nella teoria della probabilità, la convergenza in misura (detta qui convergenza in probabilità) è la tesi della legge debole dei grandi numeri.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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