Controllo sliding mode

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Con il termine controllo sliding mode (o sliding mode o sliding mode control) si fa riferimento ad un controllore a struttura variabile in retroazione di stato, che modifica il comportamento di un sistema non lineare forzandolo con un segnale di controllo in alta frequenza.

Idea di base[modifica | modifica wikitesto]

Il controllo sliding mode nasce per essere robusto e versatile, per questo motivo viene spesso indicato come "controllo universale". L'idea alla base di questo tipo di controllore è semplice: si controlla il sistema in modo che raggiunga una superficie detta di sliding, che rappresenta il riferimento del sistema di controllo. Per ottenere ciò, il sistema viene forzato con un segnale di controllo discontinuo, che spingerà le traiettorie del sistema in direzione della superficie di sliding, le traiettorie del sistema oscilleranno intorno alla superficie stessa (chattering) e l'ampiezza delle oscillazioni è tanto più piccola quanto maggiore è la frequenza del segnale di controllo. La sintesi di un sistema di controllo che applica direttamente un'azione di tipo discontinuo apre nuovi orizzonti per il controllo di attuatori di tipo on-off che tipicamente sono controllati in PWM.

Schema di controllo[modifica | modifica wikitesto]

La progettazione dello schema di controllo può essere sintetizzata in due passi:

  1. Si sceglie una superficie (detta superficie di sliding) sulla quale le traiettorie del sistema dovranno convergere, dunque il comportamento del sistema in retroazione dipenderà dalla scelta della superficie di sliding.
  2. Si sceglie una legge di controllo in funzione della superficie di sliding; questa presenta sempre un termine discontinuo e può presentare anche termini continui.

Consideriamo il sistema non lineare descritto da:


\dot{x}(t)=f(x,t)+B(x,t)u(t),\quad x\in R^n, B\in R^{n\times m}
(A1)

Per garantire l'esistenza e l'unicità della soluzione è necessario supporre che le funzioni f(.,.) and B(.,.) siano continue e differenziabili.

Consideriamo la superficie di sliding di dimensione (n-m)


\sigma(x)=[\sigma_1(x),\ldots,\sigma_m(x)]^T=0,\quad \sigma(x) \in R^{m}
(A2)

Fondamenti teorici[modifica | modifica wikitesto]

I teoremi riportati in seguito sono alla base del controllo sliding mode e permettono di dimostrare la stabilità del sistema di controllo e valutare il comportamento sulla superficie di sliding.

Primo teorema: stabilità[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri la funzione di Lyapunov


V(\sigma(x))=\frac{1}{2}\sigma^T(x)\sigma(x)
(A3)

Per il sistema descritto dalle (A1), e la superficie di sliding descritta dalle (A2), una condizione sufficiente perché il sistema sia stabile è la seguente:

 \frac{dV(\sigma)}{dt}=\sigma^T\dot{\sigma}\;<0

in un intorno di σ=0.

La stabilità è riferita alla superficie di sliding, che rappresenta anche il riferimento per il sistema, dunque questo teorema permette di valutare se il sistema può raggiungere e permanere sulla superficie.

Secondo teorema: regione di attrattività[modifica | modifica wikitesto]

Per il sistema descritto dalle (A1), e la superficie di sliding descritta dalle (A2), l'intorno di σ=0 per il quale il sistema risulta stabile è dato da:

 \sigma\;=\;\{x:\sigma^T(x)\dot{\sigma}(x)\;<0\;\forall t\}

Terzo teorema: dinamica sulla superficie di sliding[modifica | modifica wikitesto]

Se la matrice : \frac{\partial\sigma}{\partial{x}}B non è singolare[1], quando il sistema è su  \sigma = 0 la dinamica sulla superficie di sliding può essere ottenuta sostituendo nelle (A1) il controllo u (che verrà detto controllo equivalente)che garantisce  \dot\sigma=0 .

Si può dimostrare che la dinamica sulla superficie di sliding è indipendente dal campo vettoriale del sistema e da disturbi agenti sul sistema; questo aspetto rende lo schema di controllo robusto e sostanzialmente universale.

Progettazione della legge di controllo[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un sistema SISO[2]. Definiamo la superficie di sliding come:


\sigma(x)\;=\;s_1x_1+s_2x_2+\ldots+s_{n-1}x_{n-1}+x_n
(A4)

Derivando la funzione di Lyapunov otteniamo:


\begin{matrix}\dot{V}&=&\sigma(x)^T\dot{\sigma}(x)\\ 
&=&\sigma(x)^T\frac{\partial{\sigma(x)}}{\partial{x}}\dot{x} \\
&=& \sigma(x)^T\frac{\partial{\sigma(x)}}{\partial{x}}(f(x,t)x+B(x,t)u)  \end{matrix}
(A5)

A questo punto è necessario scegliere un ingresso di controllo che garantisca la condizione di stabilità (per il secondo teorema). Una possibile scelta dell'ingresso di controllo è la seguente:

u(x,t)=\left\{\begin{matrix} u^+(x), & \mbox{for}\;\sigma\;>0 \\ u^-(x),& \mbox{for}\;\sigma\;<0\end{matrix}\right.

ovvero

u(x,t)= u(x)sign(\sigma\;)


Si nota come tale legge di controllo presenta una discontinuità di prima specie nel punto 0 data dalla funzione segno. Tale discontinuità comporta un problema teorico ed uno pratico. Il problema teorico è dato dalla soluzione dell'equazione differenziale (condizione sufficiente ma non necessaria per la soluzione dell'equazione differenziale è data dalla continuità della funzione), il problema pratico è dato dal fatto che le ripetute discontinuità nello sforzo di controllo generano il cosiddetto "chattering" ovvero un comportamento a zig-zag dell'uscita del controllore (che si ripercuote nello stato del sistema). Per ovviare a tali problemi si utilizza la funzione tangente iperbolica al posto della funzione segno.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Ovvero se il determinante della matrice non è nullo.
  2. ^ Per sistema SISO si intende un sistema con una singola entrata (in) e una singola uscita (out).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • A.F. Filippov, Differential Equations with Discontinuous Right-hand Sides, Kluwer, 1988, ISBN = 9789027726995.
  • V.I. Utkin, "Sliding Modes in Control and Optimization", Springer-Verlag, 1992, ISBN = 9780387535166.
  • V.I. Utkin, J. Guldner, J. Shi, "Sliding Mode Control in Electromechanical Systems, Taylor & Francis, 1999, ISBN = 0788401164.
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