Controllo lineare quadratico gaussiano

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Il controllo lineare quadratico gaussiano (Linear Quadratic Gaussian, LQG) è un compensatore dinamico ottimo capace di recuperare la stessa funzione di trasferimento di un sistema di controllo osservabile per un sistema non osservabile. Tale sistema di controllo ottimo è basato su un controllore ottimo e un filtro ottimo, il primo sintetizzato tramite regolatore lineare quadratico (LQR) il secondo tramite loop transfer recovery (LTR).

Il problema[modifica | modifica wikitesto]

Con riferimento al controllo LQR si può avere una robustezza intrinseca forte, che garantisce una specifica di prestazione sulla sensibilità del controllo che scende di 20db/dec in alta frequenza. Ciò vale se il sistema è osservabile, cioè se lo stato del sistema è tutto fornito in uscita: in tal caso la matrice di trasferimento del sistema vista tagliando tra il regolatore e il processo risulta:

\mathbf{U_0=K_{opt}}(j\omega\mathbf{I-A)^{-1}B}

dove j rappresenta l'unità immaginaria, ω è la pulsazione del sistema, I è la matrice identica, il -1 denota l'inversione di matrice, A e B sono le matrici che descrivono il sistema dinamico lineare stazionario e Kopt è la matrice ricavata dall'algoritmo del controllo LQR.

Se invece lo stato è solo rilevabile allora occorre inserire un osservatore dello stato:

\frac{d\mathbf{\tilde{x}}}{dt}=\mathbf{(A+VC+BK_{opt})\tilde{x}+Vy\,}

dove \mathbf{\tilde{x}} è lo stato stimato, y il vettore delle uscite e C la matrice che lega y allo stato. Quindi si modifica la funzione di trasferimento divenendo:

\mathbf{U_0=K_{opt}}(j\omega \mathbf{I-A-VC-BK_{opt})^{-1}VC}(j\omega \mathbf{I-A)^{-1}B\,}

sfruttando LTR si riesce ad ottenere la stessa prestazione del caso osservabile, recuperando così la robustezza intrinseca garantita per il sistema osservabile controllato in LQR.

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