Consistenza (statistica)

In statistica, la consistenza è una proprietà di desiderabilità degli stimatori. In sostanza uno stimatore è consistente se, all'aumentare dell'informazione, ossia della numerosità del campione, la sua distribuzione di probabilità si concentra in corrispondenza del valore del parametro da stimare.

Definizione

Se $\ X=\left\{X_i\right\}_{i=1}^{n}$ è un campione, e $\ n$ la sua dimensione.

• Uno stimatore $\ T_n(X)$ per un parametro $\ \vartheta$ si dice consistente in senso debole se al tendere a infinito della numerosità del campione, esso converge in probabilità al valore del parametro:

$\ \lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\left\{|T_n(X)-\vartheta|>\varepsilon\right\}=0\quad \forall\ \varepsilon>0.$

• Uno stimatore $\ T_n(X)$ per un parametro $\ \vartheta$ si dice consistente in senso forte se al tendere a infinito della numerosità del campione, esso converge quasi certamente al valore del parametro.

Condizione sufficiente

Nella pratica non sempre è facile dimostrare la consistenza di uno stimatore sulla base della definizione presentata sopra. È spesso più semplice ricorrere al seguente risultato.

Condizione sufficiente affinché uno stimatore $\ T_n(X)$ per un parametro $\ \vartheta$ sia consistente in senso debole è che:

1. $\ \lim_{n\rightarrow\infty}\textrm{E}[T_n(X)]=\vartheta$ (correttezza asintotica);
2. $\ \lim_{n\rightarrow\infty}\textrm{var}\left(T_n(X)\right)=0$.

Esempi

Se $X_1,\ldots,X_n$ è un campione indipendente e identicamente distribuito e se $\mu$ è la media comune delle X ($\mu=E(X_i)$), allora la media campionaria $\frac{1}{n}(X_1+\cdots +X_n)$ è uno stimatore consistente in senso forte in virtù della legge forte dei grandi numeri.

Se $X_1,\ldots,X_n$ è un campione dove le $X_i$ hanno media comune $\mu$, varianza comune finita e sono incorrelati, allora la media campionaria $\frac{1}{n}(X_1+\cdots +X_n)$ è uno stimatore consistente in senso debole in virtù della legge debole dei grandi numeri.

Voci correlate

• Stimatore
• Correttezza (statistica)
• Efficienza (statistica)
• Sufficienza (statistica)
• Completezza (statistica)

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