Consistenza (statistica)

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In statistica, la consistenza è una proprietà di desiderabilità degli stimatori. In sostanza uno stimatore è consistente se, all'aumentare dell'informazione, ossia della numerosità del campione, la sua distribuzione di probabilità si concentra in corrispondenza del valore del parametro da stimare.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Se \ X=\left\{X_i\right\}_{i=1}^{n} è un campione, e \ n la sua dimensione.

  • Uno stimatore \ T_n(X) per un parametro \ \vartheta si dice consistente in senso debole se al tendere a infinito della numerosità del campione, esso converge in probabilità al valore del parametro:
\ \lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\left\{|T_n(X)-\vartheta|<\varepsilon\right\}=1\quad \forall\ \varepsilon>0.
  • Uno stimatore \ T_n(X) per un parametro \ \vartheta si dice consistente in senso forte se al tendere a infinito della numerosità del campione, esso converge quasi certamente al valore del parametro.

Condizione sufficiente[modifica | modifica wikitesto]

Nella pratica non sempre è facile dimostrare la consistenza di uno stimatore sulla base della definizione presentata sopra. È spesso più semplice ricorrere al seguente risultato.

Condizione sufficiente affinché uno stimatore \ T_n(X) per un parametro \ \vartheta sia consistente in senso debole è che:
  1. \ \lim_{n\rightarrow\infty}\textrm{E}[T_n(X)]=\vartheta (correttezza asintotica);
  2. \ \lim_{n\rightarrow\infty}\textrm{var}\left(T_n(X)\right)=0.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Se X_1,\ldots,X_n è un campione indipendente e identicamente distribuito e se \mu è la media comune delle X (\mu=E(X_i)), allora la media campionaria \frac{1}{n}(X_1+\cdots +X_n) è uno stimatore consistente in senso forte in virtù della legge forte dei grandi numeri.

Se X_1,\ldots,X_n è un campione dove le X_i hanno media comune \mu, varianza comune finita e sono incorrelati, allora la media campionaria \frac{1}{n}(X_1+\cdots +X_n) è uno stimatore consistente in senso debole in virtù della legge debole dei grandi numeri.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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