Cono (algebra lineare)

In algebra lineare, un cono è un sottoinsieme C di uno spazio vettoriale V chiuso rispetto alla moltiplicazione per scalari positivi, cioè

$v \in C, \lambda > 0 \Rightarrow \lambda v \in C$

Perché questa definizione abbia senso è dunque necessario che nel campo degli scalari sia definito un concetto di "positività", dunque di campo ordinato (come possono essere tipicamente i numeri reali, ma anche i numeri razionali o quelli algebrici).

In modo più compatto, usando la notazione $\lambda C=\{\lambda v : v \in C\}$, un cono è determinato dalla proprietà $C=\lambda C$.

Proprietà

I coni sono chiusi rispetto all'unione, l'intersezione e il passaggio al complementare. Inoltre l'immagine di un cono attraverso una applicazione lineare è ancora un cono e l'insieme "somma"

$C+D=\{v+w:v\in C, w \in D\}$

è ancora un cono, così come gli insiemi $\lambda C$ (anche per scalari negativi) e di conseguenza $-C$.

Cono di un insieme

L'insieme azzurro è un cono convesso. L'insieme in viola corrisponde al cono convesso generato da x e y

Il cono di un insieme X è dato dalla chiusura di X rispetto alla operazione che definisce un cono, cioè è l'insieme che contiene i vettori di X e tutti i loro multipli positivi. Con una notazione sintetica analoga a prima, se $X=\{x_1, \ldots, x_n\}$ e il campo è quello reale, il cono generato da X è dato da $\R^+ x_1 \cup \ldots \cup \R^+ x_n$.

Terminologia

Un cono si dice puntato se contiene l'origine e non contiene nessuna coppia di vettori opposti, cioè $C \cap -C = \{0\}$.

Un cono C si dice convesso se

$\lambda v + \mu w \in C$

per ogni v,w in C e per ogni coppia di scalari $\lambda, \mu > 0$ (o equivalentemente, se $\lambda C + \mu C=C$). Evidentemente, un cono convesso è un insieme convesso e la "somma" di due coni $C+D$ corrisponde al cono convesso generato dalla loro unione.

Ogni sottospazio vettoriale di V è un cono convesso.

Voci correlate

• Funzione omogenea

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