Cono (algebra lineare)

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In algebra lineare, un cono è un sottoinsieme C di uno spazio vettoriale V chiuso rispetto alla moltiplicazione per scalari positivi, cioè

v \in C, \lambda > 0 \Rightarrow \lambda v \in C

Perché questa definizione abbia senso è dunque necessario che nel campo degli scalari sia definito un concetto di "positività", dunque di campo ordinato (come possono essere tipicamente i numeri reali, ma anche i numeri razionali o quelli algebrici).

In modo più compatto, usando la notazione \lambda C=\{\lambda v : v \in C\}, un cono è determinato dalla proprietà C=\lambda C.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

I coni sono chiusi rispetto all'unione, l'intersezione e il passaggio al complementare. Inoltre l'immagine di un cono attraverso una applicazione lineare è ancora un cono e l'insieme "somma"

C+D=\{v+w:v\in C, w \in D\}

è ancora un cono, così come gli insiemi \lambda C (anche per scalari negativi) e di conseguenza -C.

Cono di un insieme[modifica | modifica wikitesto]

L'insieme azzurro è un cono convesso. L'insieme in viola corrisponde al cono convesso generato da x e y

Il cono di un insieme X è dato dalla chiusura di X rispetto alla operazione che definisce un cono, cioè è l'insieme che contiene i vettori di X e tutti i loro multipli positivi. Con una notazione sintetica analoga a prima, se X=\{x_1, \ldots, x_n\} e il campo è quello reale, il cono generato da X è dato da \R^+ x_1 \cup \ldots \cup \R^+ x_n.

Terminologia[modifica | modifica wikitesto]

Un cono si dice puntato se contiene l'origine e non contiene nessuna coppia di vettori opposti, cioè C \cap -C = \{0\}.

Un cono C si dice convesso se

\lambda v + \mu w \in C

per ogni v,w in C e per ogni coppia di scalari \lambda, \mu > 0 (o equivalentemente, se \lambda C + \mu C=C). Evidentemente, un cono convesso è un insieme convesso e la "somma" di due coni C+D corrisponde al cono convesso generato dalla loro unione.

Ogni sottospazio vettoriale di V è un cono convesso.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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