Congettura di Opperman

La congettura di Opperman è una congettura, formulata nel 1882, secondo cui il numero dei numeri primi minori o uguali a $n$, cioè $\pi (n)$, soddisfa la disuguaglianza

$\pi (n^{2}+n)>\pi (n^{2})>\pi (n^{2}-n),\,\,\forall {n\in \mathbb {N} \vee n>1}\,$

ossia, tra il quadrato di un numero $n$, e il quadrato più (o meno) quel numero, esiste almeno un numero primo. Essa pone una condizione più restrittiva del teorema di Chebyshev, che afferma

$\pi (2n)>\pi (n)$

Infatti posto $n^{2}=p\,\,,n={\sqrt {p}}$, si ha che

$n^{2}+n=p+{\sqrt {p}}<2p\,,\,\,\forall n>2$

e, col segno meno

$n^{2}-n=p-{\sqrt {p}}>{p \over 2}\,,\,\,\forall n>2$

e quindi

$2p>n^{2}+n=p+{\sqrt {p}}>p>p-{\sqrt {p}}=n^{2}-n>{p \over 2}\,,\,\,\forall n>2$

In pratica la congettura di Opperman dice che esiste sempre un numero primo tra $n^{2}-n$ e $n^{2}$, e tra $n^{2}$ e $n^{2}+n$, o equivalentemente, esistono almeno due numeri primi tra $n^{2}-n$ e $n^{2}+n$. La congettura sarebbe immediatamente dimostrata se venisse provato che la massima distanza tra due primi, di cui il minore è $p$, è proporzionale al quadrato del logaritmo di $p$, cioè

$\pi (p+c\cdot \operatorname {log} ^{2}p)>\pi (p)$

La congettura di Opperman è anche una restrizione della congettura di Legendre, anch'essa indimostrata: secondo quest'ultima

$\pi ((n+1)^{2})=\pi (n^{2}+2n+1)>\pi (n^{2})$

o, in parole, vi è almeno un numero primo tra i quadrati di due numeri consecutivi.

Nel 1984 J. Iwaniec e H. Pintz hanno dimostrato che sempre un numero primo fra $n-n^{\theta }$ ed $n$, con $\theta =23/42=0,547...$. Poiché

$\forall n>2\,\,,\,n^{23 \over 42}>{\sqrt {n}}$

e

$\forall n>2\,\,,\,n^{23 \over 42}-{\sqrt {n+n^{23 \over 42}}}<0$

la congettura di Opperman è un'ulteriore restrizione.

Bibliografia

• Wells, David, Prime Numbers: The most mysterious figures in math, John Wiley & Sons, 2005, ISBN 0-471-46234-9.
• Ribenboim, Paulo, The little book of big primes, Springer, 1991, ISBN 0-387-97508-X.

Voci correlate

• Congettura di Goldbach
• Congettura dei numeri primi gemelli
• Numero primo

Collegamenti esterni

• Articolo dove si cita la congettura di Opperman, su vialattea.net.