Congettura di Erdős-Straus

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La congettura di Erdős-Straus afferma che per ogni intero n \geq 2, il numero razionale 4/n si può scrivere come somma di tre frazioni unitarie, ossia esistono tre interi positivi a, b e c tali che

\frac{4}{n} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}

La somma di queste frazioni unitarie è una rappresentazione come frazione egiziana del numero 4/n. Ad esempio, per n = 1801, esiste una soluzione con x = 451, y = 295364 e z = 3249004:

\frac{4}{1801} = \frac1{451} + \frac1{295364} + \frac1{3249004}.

Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per nxyz si trova la l'equazione diofantea equivalente 4xyz=n(xy+xz+yz). La restrizione di x, y, e z ai numeri positivi è cruciale per la difficoltà del problema, dal momento che, se i valori negativi fossero ammessi, il problema potrebbe essere risolto banalmente da una delle due identità 4/(4k+1) = 1/k - 1/k(4k+1) e 4/(4k-1) = 1/k + 1/k(4k-1).

Se n è un numero composto, n = pq, allora una si potrebbe trovare immediatamente una soluzione come somma di frazioni egiziane per 4/n dalla soluzione per 4/p o per 4/q. Pertanto, se esistono controesempi alla congettura di Erdős–Straus, il più piccolo deve necessariamente essere un numero primo.

Paul Erdős e Ernst G. Straus formularono la congettura nel 1948 (vedi, ad esempio, Elsholtz) ma il primo riferimento divulgato sembra essere una pubblicazione di Erdős del 1950.

Verifica[modifica | modifica wikitesto]

La congettura di Erdős-Straus è stata verificata da Swett (attraverso tecniche di forza bruta e sfruttando identità simili a quella indicata sotto) per ogni n fino a 10^{14}.

Alcune classi di numeri possono essere verificate immediatamente attraverso delle identità algebriche. Ad esempio:

\frac{4}{(2 + 3x)} = \frac{1}{2 + 3x} + \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{(1 +x )(2 + 3x)}

che implica che, per ogni n \equiv 2 \pmod{3}, il primo membro si può rappresentare come somma di tre frazioni unitarie.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed, Springer-Verlag, New York, 1994, ISBN 0387208607, §D11
  • L. J. Mordell, Diophantine Equations (1969)
  • L. A. Rosati, Sull'equazione diofantea 4/n = 1/x1 + 1/x2 + 1/x3, Boll. Un. Mat. Ital. (3) 9(1954) 59-63; MR 15, 684

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