Congettura di Elliott-Halberstam

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Nella teoria dei numeri, la congettura di Elliott–Halberstam è una congettura che afferma che, in media, i numeri primi si distribuiscono nelle progressioni aritmetiche nel modo più regolare possibile. Prende il nome dai matematici Peter D. T. A. Elliott e Heini Halberstam ed ha molte applicazioni nella teoria dei crivelli.

L'enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Per prima cosa denotiamo con \pi(x) la funzione enumerativa dei primi, ossia la funzione che conta il numero di primi minori di x. Per ogni intero q i numeri primi minori di x si distribuiscono nelle varie classi di resto modulo q. Per ogni intero a modulo q, denotiamo con \pi(x;q,a) il numero di primi minori di x che stanno nelle classi di numeri congrui ad a modulo q.

Il teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche ci assicura che i primi sono approssimativamente equidistribuiti nelle varie classi a modulo q con a e q sono coprimi, ossia:

 \pi(x;q,a) \approx  \frac{\pi(x)}{\varphi(q)}

dove \varphi è la funzione φ di Eulero (che coincide con il numero di classi a modulo q con a e q coprimi). Se definiamo la funzione d'errore

 E(x;q) = \max_{(a,q) = 1} \left|\pi(x;q,a) - \frac{\pi(x)}{\varphi(q)}\right|,

dove il massimo è preso tra tutti gli a coprimi rispetto a q, allora la congettura di Elliott–Halberstam afferma che per ogni numero positivo θ < 1 (chiamato livello di distribuzione) e ogni A > 0 esiste una costante C > 0 tale che

 \sum_{1 \leq q < x^\theta} E(x;q) \leq \frac{C x}{\log^A x}

per ogni x > 2. In altre parole, la congettura afferma che la funzione d'errore E(x;q) è "piccola" in media al variare del modulo q tra gli interi minori di x^\theta.

Progressi verso la dimostrazione della congettura ed applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Enrico Bombieri e A. I. Vinogradov hanno dimostrato che la congettura di Elliott-Halberstam è vera per ogni \theta<\frac12. Questo risultato, noto come teorema di Bombieri–Vinogradov, implica che l'ipotesi di Riemann generalizzata (che è equivalente all'asserzione E(x;q)=O(x^{\frac12+\varepsilon}) per ogni intero positivo q e ogni ε>0) è vera in media al variare del modulo q tra gli interi minori di x^{\frac12-\varepsilon} per ogni \varepsilon>0 ed è stato spesso utilizzato per dimostrare teoremi che in passato erano ottenibili solo assumendo tale ipotesi. La congettura di Elliott-Halberstam fornisce invece una congettura più forte di quanto ottenibile assumendo l'ipotesi di Riemann generalizzata. Inoltre, è noto che la congettura è falsa per valori di θ maggiori o uguali a 1.

La congettura di Elliott-Halberstam, così come le sue versioni più deboli che assumono solo che sia valida per un qualche \theta>\frac12, hanno molte conseguenze. Una delle più note è il risultato ottenuto da Dan Goldston, János Pintz, e Cem Yıldırım che mostra che, assumendo vera la congettura, esiste un numero infinito di coppie di primi la cui distanza è minore o uguale a D = 16 (nel 2013, James Maynard ha migliorato tale risultato dimostrato che si può prendere D = 12[1]). Inoltre, gli stessi tre matematici hanno dimostrato che è sufficiente assumere la congettura di Elliott-Halberstam per un qualunque livello di distribuzione \theta>\frac12, per ottenere l'esistenza di un qualche numero D con tale proprietà.[2] Questo risultato è stato successivamente dimostrato incondizionatamente da Yitang Zhang, proprio mostrando che una versione leggermente modificata della congettura di Elliott-Halberstam è vera per un qualche \theta>\frac12.[1]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Progress on Prime Number Problem Has Mathematicians Buzzing su Wired.
  2. ^ arΧiv:math.NT/0508185; vedi anche arΧiv:math.NT/0505300, arΧiv:math.NT/0506067.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • E. Bombieri, On the large sieve in Mathematika, vol. 12, 1965, pp. 201–225.
  • P. D. T. A. Elliott e H. Halberstam, A conjecture in prime number theory in Symp. Math., vol. 4, 1968, pp. 59–72.
  • (RU) A. I. Vinogradov, The density hypothesis for Dirichlet L-series in Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 29, nº 4, 1965, pp. 903–934, MR 197414.
  • K. Soundararajan, Small gaps between prime numbers: The work of Goldston–Pintz–Yıldırım in Bull. AMS, vol. 44, nº 1, 2007, pp. 1–18, DOI:10.1090/S0273-0979-06-01142-6.
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