Condizione di compattezza di Palais-Smale

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La condizione di compattezza di Palais-Smale è un'ipotesi utilizzata in molti teoremi di calcolo delle variazioni, utile per garantire l'esistenza di punti critici di certi funzionali. Prende il nome da Richard Palais e Stephen Smale.

Formulazione forte[modifica | modifica wikitesto]

Un funzionale continuo Fréchet differenziabile F\in C^1(H,\mathbb{R}) da uno spazio di Hilbert H ai reali soddisfa la condizione di Palais-Smale se ogni successione \{u_k\}_{k=1}^\infty\subset H tale che

  • \{F[u_k]\}_{k=1}^\infty è limitato,
  • F'[u_k]\rightarrow 0 in H,

ammette una sottosuccessione convergente.

Formulazione debole[modifica | modifica wikitesto]

Sia X uno spazio di Banach e sia \Phi\colon X\to\mathbf R un funzionale Gâteaux differenziabile. Allora \Phi soddisfa la condizione debole di Palais-Smale se per ogni successione \{x_n\}\subset X tale che

  • \sup |\Phi(x_n)|<\infty,
  • \lim\Phi'(x_n)=0 in X^*,
  • \Phi(x_n)\neq0 for all n\in\mathbf N,

esiste un punto critico \overline x\in X di \Phi tale che

\liminf\Phi(x_n)\le\Phi(\overline x)\le\limsup\Phi(x_n).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2.
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