Condizione di Palais-Smale

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In matematica, la condizione di Palais-Smale o condizione di compattezza di Palais-Smale è un'ipotesi utilizzata in molti teoremi di calcolo delle variazioni, utile per garantire l'esistenza di punti critici di certi funzionali. Prende il nome da Richard Palais e Stephen Smale.

Formulazione forte[modifica | modifica wikitesto]

Un funzionale continuo Fréchet differenziabile F\in C^1(H,\mathbb{R}) da uno spazio di Hilbert H ai reali soddisfa la condizione di Palais-Smale se ogni successione \{u_k\}_{k=1}^\infty\subset H tale che \{F[u_k]\}_{k=1}^\infty è limitato e F'[u_k]\rightarrow 0 in H ammette una sottosuccessione convergente.

Formulazione debole[modifica | modifica wikitesto]

Sia X uno spazio di Banach e sia \Phi\colon X\to\R un funzionale Gâteaux differenziabile. Allora \Phi soddisfa la condizione debole di Palais-Smale se per ogni successione \{x_n\} \subset X tale che:

  • \sup |\Phi(x_n)|<\infty
  • \Phi'(x_n) \to 0 in X^*
  • \Phi(x_n)\neq0 per tutti gli n\in \N

esiste un punto critico \overline x\in X di \Phi tale che i limiti superiore ed inferiore di \Phi(x_n) soddisfano:

\liminf\Phi(x_n)\le\Phi(\overline x)\le\limsup\Phi(x_n)

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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