Condizione di compattezza di Palais-Smale

La condizione di compattezza di Palais-Smale è un'ipotesi utilizzata in molti teoremi di calcolo delle variazioni, utile per garantire l'esistenza di punti critici di certi funzionali. Prende il nome da Richard Palais e Stephen Smale.

Formulazione forte

Un funzionale continuo Fréchet differenziabile $I\in C^1(H,\mathbb{R})$ da uno spazio di Hilbert $H$ ai reali soddisfa la condizione di Palais-Smale se ogni successione $\{u_k\}_{k=1}^\infty\subset H$ tale che

• $\{I[u_k]\}_{k=1}^\infty$ è limitato,
• $I'[u_k]\rightarrow 0$ in $H$,

ammette una sottosuccessione convergente.

Formulazione debole

Sia $X$ uno spazio di Banach e sia $\Phi\colon X\to\mathbf R$ un funzionale Gâteaux differenziabile. Allora $\Phi$ soddisfa la condizione debole di Palais-Smale se per ogni successione $\{x_n\}\subset X$ tale che

• $\sup |\Phi(x_n)|<\infty$,
• $\lim\Phi'(x_n)=0$ in $X^*$,
• $\Phi(x_n)\neq0$ for all $n\in\mathbf N$,

esiste un punto critico $\overline x\in X$ di $\Phi$ tale che

$\liminf\Phi(x_n)\le\Phi(\overline x)\le\limsup\Phi(x_n).$

Bibliografia

• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 1998. ISBN 0-8218-0772-2

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