Funzione lipschitziana

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Interpretazione grafica della Condizione di Lipschitz: la funzione f=sin(x)cos(4x) è lipschitziana con K=4. Ciò significa che se prendiamo un qualunque punto del grafico della funzione vi tracciamo le rette di coefficienti angolari 4 e -4 come in figura (dove queste rette sono state tracciate nell'origine) il grafico sarà sempre comunque confinato nella regione rosa.

In analisi matematica, se una funzione di variabile reale è lipschitziana vuol dire che ha "crescita limitata", nel senso che il rapporto tra variazione di ordinata e variazione di ascissa non può mai superare un valore fissato (detto costante di Lipschitz). È una condizione più forte della continuità; prende il suo nome da quello del matematico tedesco Rudolf Lipschitz.

La lipschitzianità gioca un ruolo chiave nell'unicità di soluzioni nei problemi di Cauchy relativi ad equazioni differenziali ordinarie.

Il concetto può essere introdotto in generale in spazi metrici. Una sua generalizzazione è data dal concetto di funzione hölderiana.

Definizione: Condizione di Lipschitz

Sia

$\mathbf{f}: \Omega \subseteq \R^n \rightarrow \R^m \!$

$\mathbf{f} \!$ si dice lipschitziana su $\Omega \!$ se

$\exists K \in \R; K \ge 0 \!$

tale che $\left \| \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{y}) \right \| \le K \left \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right \| \qquad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \Omega \!$

Questo implica che:

il rapporto incrementale è limitato
se una funzione è lipschitziana, è anche continua in $\Omega \!$ , ma non è detto che sia derivabile

[modifica] Condizione sufficiente per la lipschitzianità

Teorema: Condizione sufficiente per la lipschitzianità

Sia

$\mathbf{f}: \Omega \subseteq \R^n \rightarrow \R^m\ e \ \mathbf{f} \in C^1(\Omega ; \R^m) \!$

Se

$\exists M \in \R: \max_{\mathbf{y} \in \Omega} \left \| J_{\mathbf{f}}(\mathbf{y}) \right \| \le M \qquad \!$

allora $\mathbf{f} \!$ è lipschitziana.

La scrittura $J_{\mathbf{f}}(\mathbf{y}) \!$ indica la matrice jacobiana.

Dimostrazione: Condizione sufficiente per la lipschitzianità

Siano

$\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \Omega \!$

per il teorema di Lagrange

$\mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{y}) = J_{\mathbf{f}}(t\mathbf{x}+(1-t)\mathbf{y}) \cdot \left ( \mathbf{x} - \mathbf{y} \right ) \qquad t \in \left [0 ; 1 \right ] \!$

otteniamo, passando alle norme

$\left \| \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{y}) \right \| = \left \| J_{\mathbf{f}}(t\mathbf{x}+(1-t)\mathbf{y}) \cdot \left ( \mathbf{x} - \mathbf{y} \right ) \right \| \!$

dalla quale

$\left \| \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{y}) \right \| \leq \left \| J_{\mathbf{f}}(t\mathbf{x}+(1-t)\mathbf{y}) \right \| \cdot \left \| \left ( \mathbf{x} - \mathbf{y} \right ) \right \| \!$

Ponendo

$M = \max_{t \in \left [ 0; 1 \right ]} = \left \| J_{\mathbf{f}}(t\mathbf{x}+(1-t)\mathbf{y}) \right \| \!$

che per il teorema di Weierstrass sappiamo essere reale finito, otteniamo

$\left \| \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{y}) \right \| \le M \left \| \left ( \mathbf{x} - \mathbf{y} \right ) \right \| \!$

che è identica alla definizione di lipschitzianità.

Ovvio che le definizioni, i teoremi e le dimostrazioni, fatte per funzioni a valori vettoriali, valgono per funzioni a valori reali. L'importante è sostituire le norme con i moduli e la matrice jacobiana con la derivata prima.

Sottolineamo che la condizione è solo sufficiente, infatti la funzione $f(x)=|x|\!$ , anche se non possiede derivata continua, rimane una funzione lipschitziana.

[modifica] Osservazioni

Questa condizione ha un'importanza immediata nell'ambito delle equazioni differenziali ordinarie perché rientra nelle ipotesi del Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy.
Una funzione lipschitziana è uniformemente continua (il che a sua volta implica f continua). Queste due implicazioni si visualizzano meglio confrontando le seguenti definizioni dei tre tipi di continuità:
- Continuità semplice: $\forall x \forall \epsilon\ \exists \delta\ : \left | f \left ( x \right ) - f \left ( x + \delta\ \right) \right | <\epsilon\$ .
- Continuità uniforme: $\forall \epsilon\ \exists \delta\ : \forall x \left | f \left ( x \right ) - f \left ( x + \delta\ \right) \right | <\epsilon\$ .
- Continuità secondo Lipschitz: $\exists K : \forall x \forall \epsilon\ \left | f \left ( x \right ) - f \left ( x + \frac{ \epsilon\ }{K} \right) \right | < \epsilon\$ .