Condizione della catena ascendente

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In matematica, un insieme parzialmente ordinato soddisfa la condizione della catena ascendente (ACC, dall'inglese Ascending Chain Condition) se ogni sua catena ascendente presenta un elemento massimo; analogamente un insieme soddisfa la condizione della catena discendente (DCC, Descending Chain condition) se ogni sua catena discendente presenta un elemento minimo.

Un insieme totalmente ordinato che soddisfa la condizione della catena ascendente (discendente) è detto bene ordinato.

Definizione insiemistica[modifica | modifica sorgente]

Un insieme parzialmente ordinato (P, \leq) soddisfa la condizione della catena ascendente se per ogni catena a_1 \leq a_2 \leq \ldots a_k \leq \ldots (dove a_i \in P) esiste un numero n\in \mathbb{N} tale che \forall m > n ,\, a_m = a_n.

Analoga definizione si ottiene per le catene discendenti, scambiando il verso della relazione d'ordine.

Altre proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • La condizione della catena ascendente è equivalente alla condizione massimale: ogni sottoinsieme non vuoto ha un elemento massimale; analogamente per la catena discendente vale una condizione minimale;
  • Ogni insieme finito soddisfa entrambe le condizioni.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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