Cofinalità

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In teoria degli insiemi, si dice cofinalità di un dato insieme totalmente ordinato I il più piccolo ordinale tale che esista una funzione dall'ordinale ad I cofinale (ricordiamo che una funzione si dice cofinale se la sua immagine è un sottoinsieme cofinale del codominio).

In formule,

cof(I) = \min\{\alpha \text{ ordinale } | \exists f:\alpha \rightarrow I\;\; f(\alpha) \text{ è cofinale in }I\}

Spesso si usa come sinonimo "illimitato" per il termine "cofinale", ma bisogna ben distinguere questa definizione di illimitato con quella generica d'ordine tra sottoinsiemi di insiemi qualunque. Infatti, in questo contesto, per illimitato si intende che nessun taglio iniziale di I contiene tutto f(\alpha), o equivalentemente che dato un qualsiasi elemento x \in I esiste un elemento y \geq x con y \in f(\alpha).

Si dimostra che cof(I) è un cardinale e si arriva alla seguente definizione equivalente:

cof(I) = \min\{k \text{ cardinale } |\quad |X|=k\quad\land\quad  X\subseteq I \text{ è cofinale in }I\}

Da notare che questa seconda definizione ha bisogno dell'assioma di scelta, mentre la prima non ne ha bisogno.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

In tutti i seguenti esempi si suppone che gli ordinamenti siano quelli "standard".

  • Cof(\mathbb{N})=\aleph_0
  • Cof(\R)=\aleph_0
  • Cof(\omega_1)=\aleph_1
  • Cof(\omega_1+\omega^2)=\aleph_0
  • Cof(\aleph_{17})=\aleph_{17}
  • Cof(\aleph_{\omega})=\aleph_0

Cofinalità sugli ordinali[modifica | modifica wikitesto]

Sia α un ordinale, allora valgono le seguenti proprietà

  • cof(\alpha) \leqslant |\alpha|\leqslant \alpha\qquad\forall \alpha\ ordinale
  • cof(\alpha+\beta)=cof(\beta)\qquad\forall \beta\not=0\quad ordinale
  • cof(cof(\alpha))=cof(\alpha)\qquad\forall \alpha\ ordinale
  • cof(0)=0
  • cof(\alpha)=1\iff\exist\beta\text{ ordinale t.c. }\alpha=\beta+1\text{ (}\alpha\text{ è ordinale successore)}\
  • cof(\aleph_{\lambda})=cof(\lambda)\qquad \forall\lambda\quad\text{ordinale limite}

Ordinali regolari e singolari[modifica | modifica wikitesto]

Un ordinale α si dice regolare se cof(\alpha)=\alpha, mentre si dice singolare se cof(\alpha) \leqslant \alpha.

Valgono i seguenti fatti:

  • 1,0 sono ordinali regolari;
  • per le proprietà viste sopra ogni ordinale successore (a parte 1) è singolare; tuttavia, non ogni ordinale limite è regolare: ad esempio 2\omega ha cofinalità \aleph_0=\omega;
  • un ordinale regolare è anche un cardinale ma esistono anche cardinali che sono singolari: ad esempio \aleph_{\omega}=\omega_{\omega}
 ha cofinalità \aleph_0=\omega.
  • per ogni \alpha ordinale cof(\alpha) è un ordinale regolare.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]