Cofinalità

In teoria degli insiemi, si dice cofinalità di un dato insieme totalmente ordinato $I$ il più piccolo numero ordinale tale che esista una funzione dall'ordinale ad $I$ illimitata.

In formule,

$cof(I) = \min\{\alpha \text{ ordinale } | \exists f:\alpha \rightarrow I\;\; f(\alpha) \text{ è illimitato in }I\}$

Per illimitato si intende che nessun taglio iniziale di $I$ contiene tutto $f(\alpha)$, o equivalentemente che dato un qualsiasi elemento $x \in I$ esiste un elemento $y \geq x$ con $y \in f(\alpha)$.

Talvolta si usa, come sinonimo di "illimitato", il termine "cofinale".

Ordinali regolari e singolari

Un ordinale si dice regolare se è uguale alla propria cofinalità, singolare se è maggiore.

Un cardinale può essere regolare o singolare.

Ogni ordinale successore è ovviamente regolare. Tuttavia, non ogni ordinale limite è regolare: ad esempio $2\omega$ ha cofinalità $\omega$.