Cerchio di Feuerbach

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Nella geometria piana, consideriamo un triangolo ABC ed i punti medi A', B' e C' dei suoi lati. Il cerchio che passa per i punti A', B' e C' prende il nome di cerchio di Feuerbach. Questo nome ricorda il suo scopritore, il matematico tedesco Karl Feuerbach.

Cerchio Feuerbach.jpg

Proprietà del cerchio di Feuerbach[modifica | modifica wikitesto]

Il cerchio di Feuerbach è anche noto come il cerchio dei nove punti; infatti oltre a contenere i punti medi dei lati di un triangolo ABC, contiene anche i piedi delle sue altezze e i punti medi dei segmenti compresi fra i vertici e l'ortocentro; questa denominazione però non gli si addice molto, perché il cerchio di Feuerbach contiene in realtà diciotto punti rimarchevoli. In effetti questo cerchio viene chiamato anche cerchio dei dodici punti, cerchio degli n punti, cerchio medioscritto e cerchio di Eulero.

  • Dato un triangolo ABC, il suo cerchio di Feuerbach contiene i punti medi A', B', C' dei tre lati del triangolo, i piedi X, Y, Z delle altezze ed i punti medi V, V', V" dei segmenti compresi fra i vertici e l'ortocentro.


Prima prop Feuerbach.jpg


Osserviamo che se il triangolo ABC è rettangolo, il suo cerchio di Feuerbach passa per i punti medi dei lati, per il vertice corrispondente all'angolo retto e per il piede della perpendicolare da questo sull'ipotenusa.


Seconda prop Feuerbach.jpg


  • Dato un triangolo ABC e il suo cerchio di Feuerbach, i punti di tangenza di tale cerchio con l'incerchio e i tre excerchi del triangolo, indicati con F, Fa, Fb, Fc prendono il nome di punti di Feuerbach.


Terza prop Feuerbach.jpg


  • I tre segmenti definiti dai punti di Feuerbach Fa, Fb e Fc delimitano un triangolo, che prende il nome di triangolo di Feuerbach.


Quarta prop Feuerbach.jpg


  • Dato un triangolo ABC, il cerchio di Feuerbach è tangente a sedici cerchi, che sono i cerchi inscritti ed ex-inscritti ai quattro triangoliABC, BCH, ACH e ABH, dove H è l'ortocentro del triangolo ABC.


Quinta prop Feuerbach.jpg



Sesta prop Feuerbach.jpg



Settima prop Feuerbach.jpg



Ottava prop Feuerbach.jpg



Nona prop Feuerbach.jpg


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