Cerchi di Johnson

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In geometria, con cerchi di Johnson si possono intendere genericamente le tre circonferenze di ugual raggio che si intersecano in un unico punto, realizzando il teorema di Johnson.

Johnson circles.svg

Specificatamente alla geometria del triangolo designa, invece, per similitudine, le uniche tre circonferenze uguali al circumcerchio, che si intersecano contemporaneamente nel suo ortocentro e passano per due dei tre vertici del triangolo, e i cui centri (Ja, Jb, Jc) corrispondono alle immagine del circumcentro rispetto ai suoi lati.

Proprietà dei cerchi[modifica | modifica wikitesto]

  • Tutti i cerchi di Johnson sono congruenti col circumcerchio, hanno cioè la medesima area e il medesimo perimetro; ciò è spiegabile ricorrendo al teorema di Johnson: dovendo essere tre cerchi congruenti e intersecantesi in un sol punto, oltre che avere i vertici come altri due vincoli, questi punti rappresentano giocoforza i punti di intersezione fra due singoli cerchi, e quindi per il teorema di Johnson si devono trovare su una circonferenza di pari raggio, che coincide col circumcerchio del triangolo.
  • Il loro punto di intersezione comune, è sempre l'ortocentro, quindi sarà interno dei triangoli acuti, esterno in quelli ottusi, e al vertice comune dei due cateti nel caso dei triangoli rettangoli
  • Anticomplementary triangle.svg
    Hanno un cerchio tangente di raggio pari a 2R e centrato nell'ortocentro che corrisponde al circumcerchio del triangolo anticomplementare i cui vertici corrispondono con i punti di tangenza.

I centri[modifica | modifica wikitesto]

I loro centri dei cerchi di Johnson vengono indicati con la leggere J (dallo nome dello scopritore del teorema, Roger Johnson) e il pedice del lato, quindi Ja, Jb Jc:

Le loro coordinate trilineari sono:

J_a \quad -(bc)^2a\cos{\alpha} : c(4\Delta^2 + acb^2\cos{\alpha}\cos{\gamma}) : b(4\Delta^2 + abc^2\cos{\alpha}\cos{\beta})
J_b \quad c(4\Delta^2 + bca^2\cos{\beta}\cos{\gamma}) : -(ac)^2b\cos{\beta} : a(4\Delta^2 + abc^2\cos{\alpha}\cos{\beta})
J_c \quad b(4\Delta^2 + bca^2\cos{\beta}\cos{\gamma}) : a(4\Delta^2 + acb^2\cos{\alpha}\cos{\gamma}) :  -(ab)^2c\cos{\gamma}

con Δ uguale all'area del triangolo

Triangolo di Johnson[modifica | modifica wikitesto]

Johnson triangle.svg

Il triangolo di Johnson è un triangolo avente per vertici i centri dei cerchi di Johnson; esso è in realtà una omotetia di fattore -1 avente come centro il centro dei nove punti.

Nel triangolo di Johnson i punti identificati dall'ortocentro e dal circumcentro del triangolo di riferimento, si scambiano di ruolo.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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