Categoria monoidale

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In matematica, una categoria monoidale, o categoria tensoriale, è una categoria \mathcal{C} munita di un bifuntore

\otimes\colon \mathcal{C}\times\mathcal{C}\to\mathcal{C},

che è associativo a meno di isomorfismi naturali, e un oggetto I che è elemento neutro sia a destra sia a sinistra per \otimes a meno di isomorfismi naturali. L'isomorfismo naturale associato è soggetto a certe condizioni che garantiscono che tutti i diagrammi rilevanti siano commutativi. In una categoria monoidale, gli analoghi degli usuali monoidi dell'algebra astratta posso essere definiti usando tali diagrammi commutativi. Infatti i monoidi classici sono esattamente gli oggetti monoide nella categoria monoidale degli insiemi con il prodotto cartesiano come prodotto monoidale.

Uno spazio vettoriale, un gruppo abeliano, un R-modulo, o una R-algebra con l'ordinario prodotto tensoriale sono una categoria monoidale. Le categorie monoidali posso essere viste come una generalizzazione di questi esempi.

Nella teoria delle categorie, le categorie monoidali posso essere usate per definire il concetto di un oggetto monoidale e un'azione a lui associata su altri oggetti della stessa categoria. Sono inoltre usate nella definizione di una categoria arricchita.

Le categorie monoidali hanno numerose applicazioni al di fuori della stessa teoria di categorie. Sono anche usate per definire dei modelli per il frammento multiplicativo della logica lineare intuizionista. Formano anche la base matematica per l'ordine topologico nella materia condensata. Le categorie monoidali intrecciate hanno applicazione nella teoria quantistica dei campi e nella teoria delle stringhe.

Definizione formale[modifica | modifica sorgente]

Una categoria monoidale è una categoria \mathcal{C} con

  • un funtore controvariante \otimes \colon \mathcal{C}\times\mathcal{C}\to\mathcal{C} chiamato il prodotto tensoriale o prodotto monoidale,
  • un oggetto I chiamato oggetto unità o oggetto identità,
  • tre trasformazioni naturali soggette a certe condizioni di coerenza che esprimono il fatto che il l'operazione tensoriale
    • è associativa: c'è un isomorfismo naturale \alpha, chiamato associatore, indicato con \alpha_{A,B,C} \colon (A\otimes B)\otimes C \cong A\otimes(B\otimes C),
    • ha I come identità sinistra e destra: ci sono due isomofismi naturali \lambda e \rho, respettivamente chiamati riunificante destro e sinistro, con le componenti \lambda_A \colon I\otimes A\cong A e \rho_A \colon A\otimes I\cong A.

Le condizioni che queste trasformazioni naturali devono rispettare sono:

Monoidal-category-pentagon.png

commuta;

Monoidal-category-triangle.png

Segue da queste tre condizioni che una grande classe di diagrammi di questo tipo (cioè i diagrammi costruiti usando identità e prodotti tensoriali \alpha, \lambda e \rho) commuta: questo è il "teorema di coerenza" di Mac Lane. Talvolta è affermato in modo impreciso che tutti i diagrammi commutano.

Una categoria strettamente monoidale è una categoria per la quale sono identità gli isomorfismi naturali \alpha, \lambda e \rho. Ogni categoria monoidale è equivalente monoidalmente a una categoria strettamente monoidale.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Categorie strettamente monoidali libere[modifica | modifica sorgente]

Per ogni categoria \mathcal{C}, la categoria strettamente monoidlae libera \Sigma(\mathcal{C}) può essere costruita nel seguente modo:

  • i suoi oggetti sono le successioni finite A_1,\dots,A_n di oggetti di \mathcal{C};
  • ci sono morfismi tra due oggetti A_1,\dots,A_n e B_1,\dots,B_m solo se m=n, in questo caso i morfismi sono le successioni finite di morfismi f_1,\dots,f_n con f_i\colon A_i \to B_i;
  • il prodotto monoidale di due oggetti A_1,\dots,A_n e B_1,\dots,B_m è la concatenazione A_1,\dots,A_n,B_1,\dots,B_m e analogamente il prodotto di due morfismi è la concatenazione delle due successioni finite.