Categoria monoidale

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In matematica, una categoria monoidale è una categoria \mathcal{C} munita di un bifuntore

\otimes : \mathcal{C}\times\mathcal{C}\to\mathcal{C}

che è associativo a meno di isomorfismi naturali, e un oggetto I che è elemento neutro sia a destra sia a sinistra per \otimes a meno di isomorfismi naturali. L'isomorfismo naturale associato è soggetto a certe condizioni coerenti che garantiscono che tutti i diagrammi rilevanti siano commutabili. In una categoria monoidale, gli analoghi di monoidi usuali dall'algebra astratta posso essere definiti usando gli stessi diagrammi commutativi. Infatti gli monoidi usuali sono esattamente gli oggetti monoidi nella categoria monoidale di raccolte con prodotti Cartesiani.

L'ordinario prodotto tensoriale crea uno spazio vettoriale, un Gruppo abeliano, un moduli R, o un R-Algebre, categorie monoidali. Le categorie monoidali posso essere viste come generalizzazioni di questi e altri esempi.

Nella Teoria delle categorie, le categorie monoidali posso essere usate per definire il concetto di un oggetto monoidale e un'azione a lui associata su altri oggetti della stessa categoria. Sono inoltre usate nella definizione di una categoria arricchita.

Le categorie monoidali hanno numerose applicazioni al di fuori della stessa teoria di categorie. Sono anche usate per definire dei moduli per il frammento multiplicativo della logica lineare intuitistica. Formano anche la base matematica per l'ordine topologico della materia condensata. Le Categorie monoidali intrecciate hanno applicazione nella Teoria quantistica dei campi and Teoria delle stringhe.

Definizione formale[modifica | modifica sorgente]

Una categoria monoidale è una categoria \mathbf C attrezzata di

  • un funtore controvariante \otimes \colon \mathbf C\times\mathbf C\to\mathbf C chiamato il Prodotto tensoriale o prodotto monoidale,
  • un oggetto I chiamato oggetto dell'unità o oggetto dell'entità,
  • tre Trasformazioni naturali soggette a certe condizioni di coerenza che esprimono il fatto che il l'operazione tensoriale
    • è associativa: c'è un isomorfismo naturale \alpha, chiamato associatore, con i componenti \alpha_{A,B,C} \colon (A\otimes B)\otimes C \cong A\otimes(B\otimes C),
    • ha I come identità sinistre e destre: ci sono due isomofismi naturali \lambda and \rho, respettivamente chiamati riunificante destro e sinistro, con le componenti \lambda_A \colon I\otimes A\cong A e \rho_A \colon A\otimes I\cong A.

Le condizioni coerenti di queste trasformazioni naturali sono:

  • per tutti A, B, C e D in \mathbf C, il diagramma
Monoidal-category-pentagon.png

commuta;

  • per tutti i A e B in \mathbf C, il diagramma triangolare
Monoidal-category-triangle.png

commuta;

Segue da queste tre condizioni che qualsiasi diagramma di questo tipo (per esempio un diagramma i quali morfismi sono costruiti usando identità e prodotti tensoriali \alpha, \lambda, \rho) commuta: questo è il "teorema di coerenza" di Mac Lane.

Una categoria strettamente monoidale è una per la quale sono identità gli isomorfismi naturali α, λ e ρ. Ogni categoria monoidale è equivalente monoidalmente a una categoria strettamente monoidale.