Calcolo telai piani col metodo delle rigidezze

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Di seguito ci occuperemo del calcolo di telai piani ossia svilupperemo una procedura che ci consenta di determinare le caratteristiche di sollecitazione interne di una telaio piano. Per telaio intendiamo un insieme di travi collegate tra loro con vincoli interni.

In particolare utilizzeremo il metodo degli spostamenti che passa attraverso il calcolo della matrice di rigidezza della struttura. Questo metodo è anche definito Metodo delle rigidezze.

La matrice di rigidezza di una struttura[modifica | modifica sorgente]

Evidenziamo su una struttura gli spostamenti (traslazioni e rotazioni) di alcuni punti, definibili attraverso valori scalari reali.

Calcolo telai piani-Convenzioni spostamenti.png

Negli stessi punti applichiamo i carichi esterni omologhi a tali spostamenti (a traslazioni assoceremo forze con la stessa direzioni, a rotazioni assoceremo momenti con stesso piano di applicazione e verso di rotazione).

Calcolo telai piani-Convenzioni forze.png

Riportando gli spostamenti nodali su un vettore verticale  \begin{Bmatrix} X \end{Bmatrix} e gli sforzi nodali applicati sui medesimi nodi su un vettore verticale  \begin{Bmatrix} F \end{Bmatrix} , la relazione che lega le due grandezze è del tipo

 \begin{Bmatrix} F \end{Bmatrix} =  \begin{bmatrix} H \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} X \end{Bmatrix} .

in cui  \begin{bmatrix} H \end{bmatrix} è una matrice associata alla struttura definita matrice di rigidezza della struttura.

Per il teorema di reciprocità o di Betti, la matrice  \begin{bmatrix} H \end{bmatrix} è simmetrica.

Matrice di rigidezza trave[modifica | modifica sorgente]

Per determinare la matrice di rigidezza dell'intera struttura partiremo dal calcolo della matrice di rigidezza di una singola trave.

In tal caso, indicando con  \begin{Bmatrix} \eta \end{Bmatrix} gli spostamenti dei punti estremi della trave, e con  \begin{Bmatrix} S \end{Bmatrix} i carichi applicati nei due punti, le due grandezze saranno legate da una relazione del tipo

 \begin{Bmatrix} S \end{Bmatrix} =  \begin{bmatrix} K \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \eta \end{Bmatrix} .

in cui   \begin{Bmatrix} K \end{Bmatrix} è la matrice di rigidezza della trave che è del tipo


\begin{bmatrix}K\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
k_{1,1} & k_{1,2} & k_{1,3} & k_{1,4} & k_{1,5} & k_{1,6} \\
k_{2,1} & k_{2,2} & k_{2,3} & k_{2,4} & k_{2,5} & k_{2,6} \\
k_{3,1} & k_{3,2} & k_{3,3} & k_{3,4} & k_{3,5} & k_{3,6} \\
k_{4,1} & k_{4,2} & k_{4,3} & k_{4,4} & k_{4,5} & k_{4,6} \\
k_{5,1} & k_{5,2} & k_{5,3} & k_{5,4} & k_{5,5} & k_{5,6} \\
k_{6,1} & k_{6,2} & k_{6,3} & k_{6,4} & k_{6,5} & k_{6,6} \\
\end{bmatrix}

Calcolo matrice di rigidezza locale singola trave[modifica | modifica sorgente]

La relazione scritta sopra è di carattere generale e si applica a qualsiasi trave. Di seguito noi calcoleremo la matrice di rigidezza di una trave a sezione costante, costituita da un materiale omogeneo ed isotropo, facendo nostre le ipotesi del De Saint Venant.

In particolare supponiamo che la sezione della trave sia costante e di area A. Il momento di inerzia calcolato lungo un asse perpendicolare al piano del telaio e passante per il baricentro della sezione è J. Inoltre tale asse è uno degli assi principali di inerzia della sezione, di modo che i momenti applicati nel piano del telaio diano luogo a flessione retta.

Per determinare i valori dei singoli coefficienti della matrice  \begin{Bmatrix} K \end{Bmatrix} considereremo alcuni schemi statici usuali.

Partiamo dal calcolo dei coefficienti che riguardano gli sforzi nodali S_1 e S_4. Consideriamo una trave vincolata sul secondo estremo, libera sul primo e sottoposta su quest'ultimo estremo ad una sforzo assiale S_1. Supponendo di trascurare gli effetti del second'ordine (non linearità geometriche), siamo in presenza di uno spostamento \eta_{1} \ne 0 e  \eta_{2...6} = 0. La relazione che lega S_1 a \eta_1 è

S_{1} = E A \varepsilon = \frac {E A}{l} \eta_1

in cui \varepsilon è la deformazione unitaria dell'asta.

La reazione vincolare assiale sul secondo estremo è data da

S_{4} = -S_1 = -\frac {E A}{l} \eta_1

Procedendo analogamente per \eta_4, possiamo pertanto ricavare


\begin{matrix}
k_{1,1} = \frac{EA}{l} & k_{1,2} = 0 & k_{1,3} = 0 & k_{1,4} = -\frac{EA}{l} & k_{1,5} = 0 & k_{1,6} = 0 \\
k_{2,1} = 0 & k_{2,4} = 0 & k_{3,1} = 0 & k_{3,4} = 0 \\
k_{4,1} = -\frac{EA}{l} & k_{4,2} = 0 & k_{4,3} = 0 & k_{4,4} = \frac{EA}{l} & k_{4,5} = 0 & k_{4,6} = 0 \\
k_{5,1} = 0 & k_{5,4} = 0 & k_{6,1} = 0 & k_{6,4} = 0  \\
\end{matrix}

Consideriamo una trave semplicemente appoggiata, sottoposta nei due estremi a due momenti  S_3 e  S_6 .

Con alcuni calcoli si ottiene che la relazione che lega gli spostamenti nodali  \eta_3 e  \eta_{6} agli sforzi nodali  S_3 e  S_6 \,\! è

 \begin{Bmatrix} \eta_3 \\ \eta_6 \end{Bmatrix} =  \begin{bmatrix} \frac{l}{3EJ} & -\frac{l}{6EJ} \\ -\frac{l}{6EJ} & \frac{l}{3EJ} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} S_3 \\ S_6 \end{Bmatrix}

Invertendo la relazione suddetta otteniamo


\begin{Bmatrix} S_3 \\ S_6 \end{Bmatrix} =  \begin{bmatrix} \frac{4EJ}{l} & \frac{2EJ}{l} \\ \frac{2EJ}{l} & \frac{4EJ}{l} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \eta_3 \\ \eta_6 \end{Bmatrix}

che ci permette di trovare  k_{3,3}  k_{3,6}  k_{6,3} e  k_{6,6}.

Calcolando le reazioni vincolari verticali sui due estremi, troviamo


\begin{matrix}
S_2 = - \frac{S_6+S_3}{l} = - \frac{1}{l} (\frac{6 E J}{l} \eta_3 + \frac{6 E J}{l} \eta_6 ) \\
S_5 = \frac{S_6+S_3}{l} = \frac{1}{l} (\frac{6 E J}{l} \eta_3 + \frac{6 E J}{l} \eta_6 ) \\
\end{matrix}

da cui otteniamo


\begin{matrix}
k_{2,3} = k_{2,6} = - \frac{6 E J}{l^2} \\
k_{5,3} = k_{5,6} = \frac{6 E J}{l^2} \\
\end{matrix}

Per trovare i restanti coefficienti analizziamo una trave orizzontale incastrata sul primo estremo e vincolata sul secondo con una guida che consenta la sola traslazione verticale. Applichiamo sul secondo vertice una forza verticale S_5 \,\! . In tal caso lo spostamento verticale  \eta_5 del secondo estremo è dato dalla relazione

\eta_5 = \frac{S_5 l^3}{12 E J}

da cui

k_{5,5} = \frac{12 E J }{l^3}

Sempre riferendoci alla configurazione sopra descritta, la reazione vincolare verticale nel primo estremo, è pari a -S_5. Pertanto

k_{2,5} = -\frac{12 E J }{l^3}

Per simmetria troviamo k_{2,2} e k_{5,2} pari rispettivamente a \frac{12 E J }{l^3} e -\frac{12 E J }{l^3}.

Ricapitolando quanto visto finora otteniamo la seguente matrice di rigidezza


\begin{bmatrix}K\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\frac{EA}{l} & 0 & 0 & -\frac{EA}{l} & 0 & 0 \\
0 & \frac{12EJ}{l^3} & -\frac{6EJ}{l^2} & 0 & -\frac{12EJ}{l^3} & -\frac{6EJ}{l^2} \\
0 & -\frac{6EJ}{l^2} & +\frac{4EJ}{l} & 0 & \frac{6EJ}{l^2} & \frac{2EJ}{l} \\
-\frac{EA}{l} & 0 & 0 & \frac{EA}{l} & 0 & 0 \\
0 & -\frac{12EJ}{l^3} & \frac{6EJ}{l^2} & 0 & \frac{12EJ}{l^3} & -\frac{6EJ}{l^2} \\
0 & -\frac{6EJ}{l^2} & \frac{2EJ}{l} & 0 & -\frac{6EJ}{l^2} & \frac{4EJ}{l} \\
\end{bmatrix}

Sistema di riferimento globale[modifica | modifica sorgente]

Quanto appena descritto si riferisce ad un sistema di riferimento locale della trave avente l'asse delle ascisse coincidente con l'asse della trave. Dovendo successivamente assemblare la matrice di rigidezza globale della struttura è però necessario coordinare tra loro i sistemi di riferimenti delle varie travi. Per fare questo riporteremo i sistemi di riferimento delle singole travi ad un sistema di riferimento comune. Questo vorrà dire trasportare spostamenti e sollecitazioni dal sistema di riferimento locale della trave al sistema di riferimento globale.

Indicando con \begin{Bmatrix}\eta_G\end{Bmatrix} e \begin{Bmatrix}S_G\end{Bmatrix} rispettivamente spostamenti e sollecitazioni nodali nel sistema di riferimento globale, i due dovranno essere legati tra loro dalla relazione


\begin{Bmatrix}S_G\end{Bmatrix} = \begin{bmatrix}K_G\end{bmatrix} \begin{Bmatrix}\eta_G\end{Bmatrix}

Nel seguito ci occuperemo di individuare i coefficienti di

Per fare questo partiamo caratterizzando la nostra trave con un versore bidimensionale \vec t orientato come la stessa asta ed avente per definizione modulo unitario. Supponendo che gli estremi della trave siano i due punti P_1 (x_1, y_1) e P_2 (x_2,y_2), le componenti di \vec t sono date da


\begin{matrix}
t_x = \frac {x_2 - x_1}{\sqrt{ (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}} \\
t_y = \frac {y_2 - y_1}{\sqrt{ (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}} \\
\end{matrix}

Si noti che assumendo pari ad \alpha l'inclinazione della trave rispetto all'asse delle ascisse,


\begin{matrix}
t_x = \cos \alpha \\
t_y = \sin \alpha \\
\end{matrix}

In tal caso, considerando che le rotazioni rimangono immutate con le variazioni di sistema di riferimento, il legame tra gli spostamenti nel sistema di riferimento locale \begin{Bmatrix}\eta \end{Bmatrix} e gli spostamenti nel sistema di riferimento globale \begin{Bmatrix}\eta_G \end{Bmatrix} è


\begin{Bmatrix} \eta_G \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} G \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \eta \end{Bmatrix}

in cui la matrice \begin{bmatrix} G \end{bmatrix} è data da


\begin{bmatrix} G \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix} 
t_x & -t_y & 0 & 0 & 0 & 0 \\
t_y & t_x & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & t_x & -t_y & 0 \\
0 & 0 & 0 & t_y & t_x & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix} 
\cos \alpha & -\sin \alpha & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\sin \alpha & \cos \alpha & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\
0 & 0 & 0 & \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix} G \end{bmatrix} è una matrice simmetrica con una particolarità: la sua inversa è uguale alla sua trasposta (G^{-1} = G^{T}).

Analogamente la relazione che lega le sollecitazioni nodali nel sistema locale \begin{Bmatrix}S\end{Bmatrix} a quelle nel sistema globale \begin{Bmatrix}S_G\end{Bmatrix} è


\begin{Bmatrix} S_G \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} G \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} S \end{Bmatrix}

Invertendo le suddette relazioni, otteniamo


\begin{matrix}
\begin{Bmatrix} \eta \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} G^T \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \eta_G \end{Bmatrix}\\
\begin{Bmatrix} S \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} G^T \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} S_G \end{Bmatrix}\\
\end{matrix}

che sostituite in


\begin{Bmatrix} S \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} K \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \eta \end{Bmatrix}

ci danno


\begin{bmatrix} G^T \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} S_G \end{Bmatrix} =
\begin{bmatrix} K \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} G^T \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \eta_G \end{Bmatrix}

da cui con un semplice passaggio otteniamo la matrice di rigidezza  \begin{bmatrix} K_G \end{bmatrix} che cercavamo


\begin{bmatrix} K_G \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} G \end{bmatrix} \begin{bmatrix} K \end{bmatrix} \begin{bmatrix} G^T \end{bmatrix}

Assemblaggio matrice di rigidezza globale[modifica | modifica sorgente]

Nei paragrafi precedenti abbiamo analizzato le travi singolarmente, ma ora passiamo al nostro scopo finale: analizzare l'intero telaio. Il telaio si presenta come un insieme di travi che interagiscono tra loro e con l'ambiente esterno. All'interno del formalismo matematico tale interazione si manifesta attraverso i vincoli interni (interazione tra le travi) e quelli esterni (interazione con l'ambiente esterno).

Analiticamente dovremo passare dalla matrice di rigidezza delle singole travi alla matrice di rigidezza del nostro telaio.

Supponiamo che il nostro telaio sia composto da n travi. Uniamo i vettori spostamenti nodali delle singole travi, ottenendo un vettore \begin{Bmatrix} \Eta \end{Bmatrix} degli spostamenti nodali del telaio disarticolato così definito


\begin{Bmatrix} \Eta \end{Bmatrix} = 
\begin{Bmatrix}
  \begin{Bmatrix} \eta_G \end{Bmatrix}_1 \\
  \begin{Bmatrix} \eta_G \end{Bmatrix}_2 \\
     ... \\
  \begin{Bmatrix} \eta_G \end{Bmatrix}_n \\
\end{Bmatrix}

Il nostro scopo è passare dal vettore \Eta (spostamenti nodali di ogni singola trave) al vettore  X degli spostamenti nodali del nostro telaio. Perciò siamo alla ricerca di un operatore \begin{bmatrix} I \end{bmatrix} che leghi le due grandezze secondo


\begin{Bmatrix} \Eta \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} X \end{Bmatrix}

\begin{bmatrix} I \end{bmatrix} è definita matrice di incidenza ed è una matrice m \times 6n, in cui m è il numero degli spostamenti nodali del telaio, 6 è il numero complessivo di spostamenti nodali per ogni trave (4 traslazioni e 2 rotazioni) e n è il numero di aste. Il generico elemento i_{i, 6(j-1)+k} \quad (i=1...m, j=1... n, k=1...6) sarà pari a 1 se allo spostamento \eta_k interno della trave j corrisponde lo spostamento X_i del telaio, altrimenti sarà pari a 0.

Passando ad analizzare i carichi nodali, possiamo unire i carichi nodali in un unico vettore \begin{Bmatrix} \Sigma \end{Bmatrix} così definito


\begin{Bmatrix} \Sigma \end{Bmatrix} =
\begin{Bmatrix} 
     \begin{Bmatrix} S \end{Bmatrix}_n \\
  \begin{Bmatrix} S \end{Bmatrix}_2 \\
  ...\\
  \begin{Bmatrix} S \end{Bmatrix}_n \\
\end{Bmatrix}

La relazione che lega il vettore \begin{Bmatrix} \Sigma \end{Bmatrix} (carichi nodali di ogni singola trave) al vettore \begin{Bmatrix} F \end{Bmatrix} (carichi nodali sull'intero telaio) è


\begin{Bmatrix} \Sigma \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}  \begin{Bmatrix} F\end{Bmatrix}

Ricompare così la matrice di incidenza.

D'altronde assemblando opportunamente le matrici di rigidezza delle singole travi, possiamo notare che anche \begin{Bmatrix}\Sigma \end{Bmatrix} e \begin{Bmatrix}\Eta\end{Bmatrix} sono legati tra loro dalla relazione


\begin{Bmatrix} \Sigma \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} \Kappa \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \Eta \end{Bmatrix}

in cui


\begin{bmatrix} \Kappa \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix} \Kappa \end{bmatrix}_1 && 0 && 0 &&... && 0 \\
0 && \begin{bmatrix} \Kappa \end{bmatrix}_2 && 0 &&... && 0 \\
0 && 0 && \begin{bmatrix} \Kappa \end{bmatrix}_3 &&... && 0 \\
... && ... && ... &&... && ... \\
0 && 0 && 0 &&... && \begin{bmatrix} \Kappa \end{bmatrix}_n \\
\end{bmatrix}

Invertendo la relazione che lega \begin{Bmatrix} \Sigma \end{Bmatrix} ed \begin{Bmatrix} F \end{Bmatrix} e sostituendovi le relazioni precedenti, otteniamo


\begin{bmatrix} F \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} \Sigma \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} \Kappa \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \Eta \end{Bmatrix} =
\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} \Kappa \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} X \end{Bmatrix}=
\begin{bmatrix} H \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} X \end{Bmatrix}

da cui si evince che la matrice di rigidezza della struttura è data dalla relazione


\begin{bmatrix} H \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} \Kappa \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}

Carichi concentrati e distribuiti applicati lungo la trave (carichi infranodali)[modifica | modifica sorgente]

Fin qui abbiamo supposto la presenza di soli carichi applicati nei nodi. Di fatto questa ipotesi in presenza di carichi concentrati lungo l'asta sarebbe un limite facilmente superabile. In tal caso basterebbe ridefinire la struttura includendo il punto in questione tra i nodi del telaio.

In presenza di carichi distribuiti il limite sopra indicato non può essere superato. In tal caso è necessario rivedere l'impostazione fin qui vista introducendo nell'equazione che regola il problema un nuovo vettore di modo da avere


\begin{Bmatrix} F \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} H \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} X \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix} F_0 \end{Bmatrix}

Il vettore \begin{Bmatrix} F_0 \end{Bmatrix} dipende dai carichi concentrati e distribuiti applicati sulla struttura.

Per capire il significato fisico di questo nuovo vettore, consideriamo il caso


\begin{Bmatrix} X \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix}

In tal caso


\begin{Bmatrix} F \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} F_0 \end{Bmatrix}

Quindi il vettore \begin{Bmatrix}F_0\end{Bmatrix} si definisce come il valore degli sforzi nodali in presenza di spostamenti nulli. Il vettore \begin{Bmatrix}F_0\end{Bmatrix} si presenta dipendente dalle caratteristiche geometriche e fisiche del telaio oltre che dai carichi esterni infranodali applicati.

Per il calcolo di tale vettore procederemo in maniera analoga a quanto fatto sopra per il calcolo della matrice di rigidezza del telaio: partiremo quindi dall'analisi di una singola trave, calcolando all'interno del suo sistema di riferimento locale i valori dei carichi nodali che annullano gli spostamenti nodali \begin{Bmatrix} S_0 \end{Bmatrix}; trasformeremo i risultati così ottenuti dal sistema di riferimento locale a quello globale utilizzando la matrice \begin{bmatrix}G\end{bmatrix}; siamo così arrivati ad avere un vettore \begin{Bmatrix} S_0 \end{Bmatrix} per ogni trave della nostra struttura; per ottenere un unico vettore \begin{Bmatrix} F_0 \end{Bmatrix} dovremo utilizzare nuovamente la matrice di incidenza \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}.

Cominciamo il calcolo del vettore \begin{Bmatrix} S_0 \end{Bmatrix}. A tale scopo supponiamo per la nostra trave un qualsiasi tipo di vincolo, tale da rendere la trave isostatica. Per semplicità ad esempio supponiamo di avere un incastro sul primo vertice e che il secondo vertice sia libero. A seguito dell'applicazione dei carichi esterni infranodali, avremo sulla trave una deformazione assiale totale \lambda(z) = \frac{N(z)}{EA(z)} + \bar{\lambda}(z) ed una curvatura totale \mu (z) = \frac{M(z)}{EJ(z)} + \bar{\mu}(z).

Calcoliamo innanzi tutto le reazioni vincolari nel vincolo incastrato, che indichiamo con S_1^* , S_2^* ed S_3^* . Assembliamo tali valori nel vettore S^* , così definito


\begin{Bmatrix} S^* \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} S_1^* \\ S_2^* \\ S_3^* \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{Bmatrix}

Calcoliamo ora gli spostamenti nodali nel vertice libero. Per fare questo utilizzeremo il principio dei lavori virtuali, assumendo come struttura di confronto sempre una trave incastrata sul primo vertice e libera nel secondo. Gli spostamenti della trave saranno


\begin{Bmatrix} \eta_1^{**} \\ \eta_2^{**} \\ \eta_3^{**} \\ \eta_4^{**} \\ \eta_5^{**} \\ \eta_6^{**} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \int_0^l \lambda(z)\,dz \\ \int_0^l l \left ( \frac{z}{l} - 1 \right ) \mu(z) \,dz \\ \int_0^l \mu(z) \,dz \end{Bmatrix}

Le forze nodali \begin{Bmatrix} S^{**} \end{Bmatrix} possono essere calcolate servendosi della matrice di rigidezza secondo la relazione


\begin{Bmatrix} S^{**} \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} K \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \eta^{**} \end{Bmatrix}

Per il principio di sovrapposizione degli effetti il vettore \begin{Bmatrix} S_0 \end{Bmatrix} cercato sarà dato dalla relazione


\begin{Bmatrix} S_0 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} S^{*} \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix} S^{**} \end{Bmatrix}

Il vettore \begin{Bmatrix} S_0 \end{Bmatrix} così ottenuto si riferisce al sistema di riferimento locale della trave analizzata. Per il passaggio al sistema di riferimento globale utilizziamo la matrice \begin{bmatrix} G \end{bmatrix} sopra definita, secondo la relazione


\begin{Bmatrix} S_{0,G} \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} G \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} S_0 \end{Bmatrix}

Rimane infine da assemblare il vettore \begin{Bmatrix} F_{0} \end{Bmatrix} dell'intera struttura. Per fare questo dovremmo analizzare l'equilibrio di ciascun nodo della nostra struttura. In questo modo otteniamo nuovamente i termini della nostra matrice di incidenza, secondo


\begin{Bmatrix} F_0 \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} S_{0,G} \end{Bmatrix}

Non linearità[modifica | modifica sorgente]

Finora abbiamo sviluppato il nostro modello assumendo un comportamento elastico lineare del nostro materiale; più nello specifico abbiamo supposto l'esistenza di una relazione lineare tra curvatura, deformazione media assiale e caratteristiche di sollecitazione.

I materiali utilizzati nella tecnica corrente si discostano molto da tale comportamento teorico. Tale aspetto viene genericamente individuato con l'espressione non-linearità meccanica.

Un'altra ipotesi fatta riguarda l'influenza delle deformazioni sullo stato finale di equilibrio: noi calcoliamo le caratteristiche di sollecitazione della nostra trave riferendoci alla configurazione indeformata. Ma consideriamo ad esempio il caso di un pilastro snello incastrato alla base e soggetto sull'estremo libero a due carichi, uno verticale ed uno orizzontale. Le deformazioni assunte dal pilastro fanno sì che il carico verticale determini la comparsa di sollecitazioni flessionali sulla trave (vedi teoria della colonna modello).

Nel seguito modificheremo il nostro modello di modo che riesca a considerare anche queste problematiche.

Non linearità meccanica[modifica | modifica sorgente]

Per analizzare le problematiche legate alla non linearità meccanica dovremo scendere ad un maggior livello di dettaglio, arrivando ad analizzare il comportamento dei singoli punti costituenti la sezione della nostra trave.

Supponiamo di avere una sezione definita tramite un insieme di punti riferiti ad un certo sistema di riferimento. All'interno dell'ipotesi di conservazione delle sezioni piane, la deformazione di un generico punto costituente la nostra sezione può essere ottenuta a partire da quella dell'origine della sezione secondo


\begin{matrix}
\varepsilon_z (y) = \lambda + \mu \ y \\
\gamma = \eta
\end{matrix}

Assumendo per il materiale costituente la sezione un legame costitutivo di tipo elastico-lineare isotropo, dovremmo associare a tali deformazioni delle tensioni ottenute secondo


\begin{matrix}
\sigma_z (y) = E \left( \lambda + \mu \ y  \right ) \\
\tau = G \ \eta
\end{matrix}

Tali tensioni si traducono in un legame lineare tra le caratteristiche di sollecitazione ed i parametri deformativi.


\begin{matrix}
\begin{Bmatrix}N \\ M \\ T \end{Bmatrix} =
\begin{bmatrix}E A & ES & 0\\ ES & EJ & 0\\ 0 & 0 & tGA\end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \lambda \\ \mu \\ \eta \end{Bmatrix}
\end{matrix}

Trascuriamo per semplicità il taglio, e concentriamoci solo su momento flettente e sforzo normale (ipotesi più che plausibile nella maggior parte dei casi). La relazione sopra esposta mostra un legame di tipo lineare tra sforzo normale, momento flettente e le caratteristiche di deformazione della sezione.

Sia l'acciaio che il calcestruzzo hanno un comportamento diverso da quello lineare fin qui descritto. Per entrambi i materiali la non-linearità del legame costitutivo del materiale si traduce in una non-linearità del legame tra sforzo normale, momento flettente e caratteristiche deformative. Dobbiamo quindi modificare il modello teorico per fare in modo che tenga conto di quest'ultimo aspetto.

Purtroppo non è disponibile una formula chiusa che permetta di calcolare il nostro telaio sotto queste ipotesi, dovremo perciò utilizzare dei metodi iterativi.

Possiamo individuare nella nostra trave un certo numero significativo di sezioni, e su queste andare a verificare la discrepanza tra modello teorico lineare e comportamento effettivo del materiale.

A questo punto un primo approccio è quello di modificare i parametri di rigidezza della sezione, sostanzialmente area e momento di inerzia, per riportare il comportamento teorico in quello effettivo.


\begin{matrix}
\begin{Bmatrix}N \\ M \end{Bmatrix} =
\begin{bmatrix}E A^* & E S^* \\ E S^* & E J^* \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \lambda \\ \mu \end{Bmatrix}
\end{matrix}

A questo punto dovremo ricalcolare la matrice di rigidezza della trave come se si trattasse di una nuova trave a sezione variabile, o, analogamente, un insieme di travi più piccole collegate tra loro. Dobbiamo quindi ricalcolare tutte le matrici di rigidezza delle singole travi, e successivamente riassemblare la matrice di rigidezza del nostro telaio. Risolviamo così il sistema lineare così definito e verifichiamo nuovamente quel discrepanza c'è tra il modello adottato e quello effettivo del materiale. Procediamo così fin a quando lo scarto tra i due sarà sufficientemente piccolo.

Computazionalmente questo approccio presenta non poche difficoltà. Il neo principale del metodo appena descritto è nella necessità di ricalcolare più volte la matrice di rigidezza e successivamente di doverla risolvere. Per telai minimamente realistici questo vuol dire avere a disposizione una notevole potenza di calcolo.

Un approccio meno dispendioso sotto questo punto di vista lascia invece invariati i parametri di rigidezza della nostra sezione, e trasla la nostra legge costitutiva fino a portarla a coincidere con quella effettiva del materiale. Traducendo il tutto in formule, questo vuol dire introdurre due coefficienti  \bar \lambda e  \bar \mu tali per cui il legame della nostra sezione diventi


\begin{Bmatrix}N \\ M \end{Bmatrix} =
\begin{bmatrix}E A & E S \\ E S & E J \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \lambda + \bar \lambda \\ \mu + \bar \mu \end{Bmatrix}

Le grandezze  \bar \lambda e  \bar \mu si presentano come deformazioni impresse sulla nostra sezione, e quindi alla stregua di normali carichi infranodali. Utilizzando l'approccio descritto sopra, possiamo tradurre quindi tali parametri in vettori  \begin{Bmatrix} S_0 \end{Bmatrix} e quindi in un vettore  \begin{Bmatrix} F_0 \end{Bmatrix} proprio della nostra struttura.

A questo punto siamo riusciti ad evitare il ricalcolo della matrice di rigidezza della struttura, però siamo comunque costretti a risolvere il sistema:


\begin{Bmatrix} F \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} H  \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} X \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix} F_0 \end{Bmatrix}

A questo punto dovremmo ricalcolare nuovamente lo scarto tra modello teorico e modello reale e ripetere il procedimento sopra indicato fino ad ottenere un livello sufficiente di precisione.

Volendo risparmiare tempo potremmo però apportare una piccola modifica al procedimento sopra esposto: la prima volta che risolviamo il sistema  \begin{Bmatrix} F \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} H  \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} X \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix} F_0 \end{Bmatrix} , invertiamo la matrice  \begin{bmatrix} H  \end{bmatrix} . Il maggiore onere computazionale necessario tornerà utile nei passaggi successivi, allorché sarà sufficiente calcolare


\begin{Bmatrix} X \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} H^{-1}  \end{bmatrix} \left( \begin{Bmatrix} F \end{Bmatrix} - \begin{Bmatrix} F_0 \end{Bmatrix} \right)

in cui i termini a destra del segno uguale sono tutti noti.

Non è detto che il procedimento iterativo così descritto porti sempre ad una soluzione; potremmo ad esempio verificare che il nostro telaio non è in grado di sopportare i carichi imposti.

Non linearità geometrica[modifica | modifica sorgente]

Nella stragrande maggioranza dei casi ingegneristici si possono ritenere trascurabili gli effetti delle deformazioni della struttura sull'entità delle sollecitazioni e sui fenomeni di instabilità.

Pertanto fino ad ora l'analisi del telaio si è potuta effettuare con la teoria del primo ordine (analisi del primo ordine) e cioè imponendo l'equilibrio sulla configurazione iniziale della struttura (struttura indeformata).

In presenza di elementi strutturali snelli gli spostamenti non più trascurabili prodotti dalle azioni applicate determinano l'insorgere di un'eccentricità del carico assiale agente, con conseguente formazione di un momento flettente (carico di punta) o incremento di quello già presente sull'elemento strutturale (strutture pressoinflesse).

In questo caso di parla di effetti del secondo ordine e il relativo momento flettente addizionale è detto momento del secondo ordine.

Tale fenomeno influenza notevolmente sia la deformabilità in esercizio, sia la capacità resistente ultima di una struttura snella.

Le verifiche di stabilità si devono condurre attraverso un'analisi del secondo ordine, imponendo l'equilibrio sulla configurazione deformata della struttura.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

ingegneria Portale Ingegneria: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di ingegneria