Bhaskara

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Bhaskara, chiamato anche Bhaskara II e Bhaskara Achārya (Bijjada Bida, 11141185), è stato un astronomo e matematico indiano.

Nacque vicino a Bijjada Bida nel distretto di Bijapur, Karnataka, nel sud dell'India, e divenne il capo dell'osservatorio astronomico a Ujjain, continuando la tradizione matematica di Varahamihira e di Brahmagupta. In un certo qual modo, Bhaskara rappresenta il culmine della conoscenza matematica e astronomica del XII secolo in ambito mondiale. Egli giunse a comprendere il calcolo infinitesimale, l'astronomia, i sistemi numerici e a risolvere molti tipi di equazioni, tutte capacità che sarebbero stare raggiunte in Europa solo molti secoli dopo. Le sue opere principali furono il Lilavati(che tratta dell'aritmetica), il Bijaganita (Algebra) e il Siddhanta Shiromani (scritto nel 1150) costituito da due parti: Goladhyaya (la sfera) e Grahaganita (la matematica dei pianeti).

Leggende[modifica | modifica wikitesto]

Il Lilavati, il suo libro sull'aritmetica, è la fonte di interessanti leggende secondo le quali fu scritto per la figlia Lilavati. In una di queste storie, che si trova in una traduzione persiana del Lilavati, Bhaskara studiò l'oroscopo di Lilavati e previde che suo marito sarebbe morto subito dopo il matrimonio, se questo non avesse avuto luogo in un momento particolare. Per impedire tale disgrazia, collocò una tazza con un piccolo foro sul fondo di un recipiente pieno d'acqua e fece in modo che la tazza affondasse all'inizio dell'ora propizia per il matrimonio. Mise il congegno in una stanza avvertendo Lilavati di non avvicinarsi. Spinta dalla curiosità, però, lei entrò per guardare il congegno, ma una perla dell'anello che portava al naso vi cadde dentro accidentalmente rovinandolo. Il matrimonio ebbe luogo nel momento sbagliato e lei divenne ben presto vedova. Si dice che Bhaskara le insegnò la matematica per consolarla del suo dolore e che scrisse il libro per lei.

Matematica[modifica | modifica wikitesto]

Alcuni dei contributi di Bhaskara alla matematica includono i seguenti punti:

Aritmetica[modifica | modifica wikitesto]

Il testo di aritmetica di Bhaskara, il Lilavati, copre i seguenti argomenti: le definizioni, i termini aritmetici, il computo dell'interesse, le progressioni aritmetiche e geometriche, la geometria piana, la geometria solida, l'ombra dello gnomone, i metodi per risolvere le equazioni indeterminate, e le combinazioni. Il Lilavati è diviso in 13 capitoli e copre molti rami della matematica (l'aritmetica, l'algebra, la geometria e un po' di trigonometria e misurazione). Più specificamente copre:

La sua opera è rilevante per la sua sistematizzazione, per il miglioramento dei metodi e per i nuovi argomenti da lui introdotti. Inoltre il Lilavati comprendeva eccellenti problemi ricreativi e si pensa che, secondo le probabili intenzioni di Bhaskara, chi studiava il Lilavati si dovesse interessare all'applicazione pratica del metodo.

Algebra[modifica | modifica wikitesto]

Il suo Bijaganita ("Algebra") era un'opera in dodici capitoli. Fu il primo testo a riconoscere che un numero positivo ha due radici quadrate (una radice quadrata positiva e una negativa). La sua opera Bijaganita è effettivamente un trattato sull'algebra e comprende i seguenti argomenti:

  • I numeri positivi e negativi.
  • Lo zero.
  • L'"incognita" (include la determinazione di quantità incognite).
  • La determinazione di quantità incognite.
  • I numeri irrazionali (include la valutazione dei numeri irrazionali).
  • Kuttaka (per risolvere le indeterminate e le equazioni diofantee).
  • Le equazioni semplici (indeterminate di secondo, terzo e quarto grado).
  • Le equazioni semplici con più di un'incognita.
  • Le equazioni quadratiche indeterminate (del tipo ax2 + b = y2).
  • Le soluzioni delle equazioni indeterminate di secondo, terzo e quarto grado.
  • Le equazioni quadratiche.
  • Le equazioni quadratiche con più di un'incognita.
  • Le operazioni con i prodotti di diverse incognite.

Bhaskara derivò il metodo chakravala, di tipo ciclico, per risolvere le equazioni quadratiche indeterminate della forma ax2 + bx + c = y. Il metodo di Bhaskara per trovare le soluzioni del problema Nx2 + 1 = y2 (la cosiddetta "equazione di Pell") è di notevole importanza. Diede le soluzioni generali per

  • L'"equazione di Pell" usando il metodo chakravala.
  • L'equazione indeterminata quadratica usando il metodo chakravala.

Risolse anche:

Trigonometria[modifica | modifica wikitesto]

Il Siddhanta Shiromani (scritto nel 1150) dimostra che Bhaskara conosceva la trigonometria, incluse la tavola del seno e le relazioni fra le diverse funzioni trigonometriche. Scoprì anche la trigonometria sferica insieme ad altri interessanti risultati trigonometrici. In particolare, Bhaskara parve più interessato alla trigonometria di per sé stessa rispetto ai suoi predecessori che la vedevano solo come strumento per il calcolo. Fra i molti risultati interessanti ottenuti da Bhaskara, nelle sue opere si trovano, scoperti per la prima volta, i risultati ora noti per  \sin\left(a + b\right) e  \sin\left(a - b\right) :

  •  \sin\left(a + b\right) = \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b)
  •  \sin\left(a - b\right) = \sin(a) \cos(b) - \cos(a) \sin(b)

Calcolo[modifica | modifica wikitesto]

La sua opera, il Siddhanta Shiromani, è un trattato astronomico e comprende molte teorie che non si trovano in opere precedenti. Sono di particolare interesse i concetti preliminari di calcolo infinitesimale e di analisi matematica, insieme ad alcuni risultati di trigonometria, di calcolo differenziale e di calcolo integrale che si trovano nell'opera. Le prove dimostrano che Bhaskara era perfettamente a conoscenza del principio del calcolo differenziale e che le sue ricerche non erano per nulla inferiori all'opera di Newton di cinque secoli successiva, a parte il fatto che, a quanto pare, non comprese l'utilità delle sue ricerche e perciò molti storici della matematica in genere trascurano i suoi risultati rilevanti. Bhaskara inoltre approfondisce il "calcolo differenziale" e indica che il coefficiente differenziale si annulla a un valore estremo della funzione, mostrando di conoscere il concetto di "infinitesimale".

  • Dà anche i risultati ora noti  \sin\left(a + b\right) e  \sin\left(a - b\right) .
  • Nella sua opera c'è la prova di una forma primitiva del teorema di Rolle:
    • Se  f\left(a\right) = f\left(b\right) = 0 allora  f'\left(x\right) = 0 per qualche \ x con \ a < x < b .
  • Fu il primo a calcolare il differenziale di \ \sin(x) come  d\left(\sin(x)\right) = \cos\left(x\right) dx .
    • Bhaskara usa questo risultato per calcolare l'angolo di posizione dell'eclittica, un valore richiesto per prevedere con precisione il momento di un'eclisse.
  • Nel calcolare il moto istantaneo di un pianeta, l'intervallo di tempo fra le posizioni successive dei pianeti non era maggiore di un truti, o 1/33750 di secondo, e la misura della sua velocità fu espressa in questa unità di tempo "infinitesimale".
  • Era consapevole che, quando una variabile raggiunge il valore massimo, il suo differenziale si annulla.
  • Mostrò anche che, quando un pianeta si trova nel punto più lontano o nel punto più vicino alla Terra, l'equazione del centro (la misura di quanto sia lontano un pianeta dalla posizione in cui si prevede che si trovi, supponendo che si muova di moto uniforme) si annulla. Perciò concluse che, per qualche posizione intermedia, il differenziale dell'equazione del centro è uguale a zero. In questo risultato, ci sono tracce del teorema generale del valor medio, uno dei più importanti teoremi dell'analisi matematica, che oggi si fa derivare solitamente dal teorema di Rolle. Il teorema del valor medio fu trovato successivamente da Parameshvara nel XV secolo nel Lilavati Bhasya, un commento al Lilavati di Bhaskara.

Madhava (1340-1425) e i matematici della Scuola di Kerala (incluso Parameshvara), fra il XIV secolo e il XVI secolo, progredirono sull'opera di Bhaskara e portarono ancor più avanti lo sviluppo del calcolo infinitesimale in India.

Astronomia[modifica | modifica wikitesto]

Lo studio dell'astronomia nelle opere di Bhaskara si basa sul sistema solare eliocentrico di gravitazione, precedentemente proposto da Aryabhata nel 499, in cui i pianeti seguono un'orbita ellittica intorno al Sole, e sulla legge di gravità descritta da Brahmagupta nel VII secolo. I contributi di Bhaskara all'astronomia comprendono precisi calcoli di molti risultati astronomici basati su questo sistema solare eliocentrico di gravitazione. Uno di questi contributi è il suo calcolo preciso dell'anno siderale, il tempo impiegato dalla Terra per orbitare intorno al Sole, di 365,2588 giorni. Il valore accettato oggi è di 365,2596, con la differenza di un solo minuto. Il suo testo di astronomia matematica Siddhanta Shiromani è scritto in due parti: la prima parte sull'astronomia matematica e la seconda sulla sfera. I dodici capitoli della prima parte comprendono argomenti come:

La seconda parte comprende tredici capitoli sulla sfera. Copre argomenti come:

Mostrò anche che, quando un pianeta si trova nel punto più lontano o nel punto più vicino alla Terra, l'equazione del centro (la misura di quanto sia lontano un pianeta dalla posizione in cui si prevede che si trovi, supponendo che si muova di moto uniforme) si annulla. Perciò concluse che, per qualche posizione intermedia, il differenziale dell'equazione del centro è uguale a zero.

Influenza[modifica | modifica wikitesto]

Secondo alcuni studiosi l'opera di Bhaskara ha influenzato gli sviluppi successivi in Medio Oriente e in Europa. La sua opera forse fu nota ai matematici nell'opera di Bhaskara, ma questo viene visto come un tentativo degli studiosi eurocentrici di rivendicare l'influenza europea su molte grandi opere di matematica non europee. In particolare, nel campo dell'algebra, Diofanto considerò solo casi specifici e non giunse a elaborare i metodi generali degli indiani. Lo studio delle equazioni diofantee in India si può anche far risalire ai Sulba Sutras scritti fra il IX secolo a.C. e il VI secolo a.C., che anticipano l'opera di Diofanto di molti secoli.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • W. W. Rouse Ball, A Short Account of the History of Mathematics, 4th Edition, Dover Publications, 1960.
  • George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, 2nd Edition, Penguin Books, 2000.
  • John J. O'Connor e Edmund F. Robertson, Bhaskara in MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University, 2000.
  • Ian Pearce, Bhaskaracharya II in MacTutor Archive, St Andrews University, 2002.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Controllo di autorità VIAF: 29927659 LCCN: n82077055