Sistema numerico binario

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Il sistema numerico binario è un sistema numerico posizionale in base 2. Esso utilizza solo due simboli, di solito, indicati con 0 e 1, invece delle dieci cifre utilizzate dal sistema numerico decimale. I numeri espressi nel sistema numerico binario sono chiamati numeri binari.

I numeri binari sono utilizzati in informatica, grazie all'utilizzo della logica booleana all'interno circuiti elettrici digitali, per la rappresentazione interna dei numeri o dei valori logici di vero e falso.

Rappresentazione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Binary-coded decimal.

Un numero binario è una sequenza di cifre binarie (dette bit). Ogni cifra in posizione n (contate da destra verso sinistra iniziando da 0) si considera moltiplicata per 2^{n}, anziché per 10^{n}, come avviene nella numerazione decimale.

Nella seguente tabella vengono confrontate le rappresentazioni binarie, esadecimale e decimale dei numeri compresi tra 0 e 15:

Binario Esadecimale Decimale
0 0 0
1 1 1
10 2 2
11 3 3
100 4 4
101 5 5
110 6 6
111 7 7
1000 8 8
1001 9 9
1010 A 10
1011 B 11
1100 C 12
1101 D 13
1110 E 14
1111 F 15

La formula per convertire un numero da binario a decimale (dove con d_n si indica la cifra di posizione n all'interno del numero, contate da destra verso sinistra iniziando da 0) è

d_{n}2^{n}+d_{n-1}2^{n-1}+ \dots + d_1 2^1 + d_0 2^0 = N_{10}

Ad esempio

1001_2 = 1 \cdot 2^3+0 \cdot 2^2+0 \cdot 2^1+1 \cdot 2^0 = 9_{10}.

L'utilizzo dei numeri binari non è ristretto esclusivamente alla rappresentazione dei numeri interi positivi. Adottando alcune convenzioni, è possibile rappresentare numeri interi relativi in binario. Oltre al segno è possibile esprimere in binario i numeri razionali utilizzando, ad esempio, lo standard IEEE 754.

Operazioni aritmetiche[modifica | modifica sorgente]

I numeri binari possono essere messi in relazione tramite operazioni aritmetiche, con regole simili a quelle del sistema decimale. Le quattro operazioni aritmetiche eseguibili sono: somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Per rendere possibili le operazioni aritmetiche e l'elaborazione dei segnali digitali è necessario esprimere i numeri binari tenendo conto del loro segno.

Somma[modifica | modifica sorgente]

La somma fra due o più numeri binari è analoga a quella riferita ai numeri decimali. La regola applicata in questo caso è la seguente:

  1. 0+0=0
  2. 0+1=1
  3. 1+0=1
  4. 1+1=0 con riporto di 1 alla colonna verso sinistra

Quando si ha un riporto si aggiunge 1 sulla colonna di sinistra (quella più significativa) e si procede rispettando la regola della somma.

Sottrazione[modifica | modifica sorgente]

La sottrazione nel sistema binario si svolge nel modo seguente:

  1. 0-0=0
  2. 0-1=1 con prestito di 1 dalla colonna a sinistra
  3. 1-0=1
  4. 1-1=0

Quando si ha un prestito si sottrae 1 dalla colonna di sinistra (quella più significativa) e si procede rispettando la regola della differenza. Se sulla colonna di sinistra non si può concedere il prestito perché la cifra è 0, esso si trascina alla colonna successiva verso sinistra finché non si restituisce il prestito.

Moltiplicazione[modifica | modifica sorgente]

La regola del prodotto binario segue esattamente quella della moltiplicazione di due numeri decimali. Infatti si ha:

  1. 0 × 0=0
  2. 0 × 1=0
  3. 1 × 0=0
  4. 1 × 1=1

Divisione[modifica | modifica sorgente]

L'operazione della divisione rispetta la regola:

D = Q × d + R, dove: D = dividendo; d = divisore; Q = quoziente ed R = resto.

Per eseguire una divisione si può procedere tramite il metodo tradizionale in cui si procede per sottrazioni successive tra il dividendo D e il divisore d fino a che il risultato diventi inferiore al divisore. Il risultato finale rappresenta il resto (R) mentre il numero di sottrazioni rappresenta il quoziente (Q).

Storia[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Storia dell'informatica e Storia del computer.

Il sistema numerico binario ha molti padri. Il primo a proporne l'uso fu Juan Caramuel con la pubblicazione del volume "Mathesis biceps. Vetus, et noua" pubblicato a Campagna nel 1669. Se ne trova traccia anche nelle opere di Nepero. Successivamente, il matematico tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz ne studiò per primo l'aritmetica. Questa è la ragione per cui questo sistema di numerazione è considerato tra le sue più grandi invenzioni. Però non ebbe un seguito immediato. L'aritmetica binaria venne ben presto dimenticata e riscoperta solo nel 1847 grazie al matematico inglese George Boole che aprirà l'orizzonte alle grandi scuole di logica matematica del Novecento e soprattutto alla nascita del calcolatore elettronico.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Argyris Kostopoulos, «Elementi di telecomunicazioni», Petrini.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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