Azione di Poljakov

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In fisica teorica, l'azione di Poljakov è l'azione bidimensionale che descrive il worldsheet (foglio di mondo) di una stringa, come un ente all'interno della teoria delle stringhe. È stata introdotta da S. Deser e Bruno Zumino, e indipendentemente da L. Brink, P Di Vecchia e P.S. Howe[1] ed è successivamente stata associata ad Aleksandr Poljakov quando ne ha fatto uso per la quantizzazione delle stringhe. L'azione è descritta dalla seguente formula:

\mathcal{S} = \frac{T}
{2}\int {{\text{d}}^{\text{2}} \sigma \sqrt { - h} h^{ab} g_{\mu \nu } \left( X \right)\partial _a X^\mu  \left( \sigma  \right)\partial _b X^\nu  \left( \sigma  \right)} ,

dove T è la tensione propria della stringa,  g_{\mu \nu } è la metrica del cosiddetto target manifold (manifold di riferimento) e  h^{ab} è la metrica di un worldsheet ausiliario chiamata metrica indotta; h è il determinante di h_{ab} . Tutti i fogli di mondo hanno le dimensioni di una superficie bi-dimensionale e quindi abbiamo bisogno di due parametri per specificare un punto sul foglio; i fisici teorici delle stringhe utilizzano i simboli:  \tau coordinata temporale e  \sigma coordinata spaziale per questi parametri. Una convenzione è quella di assegnare segno positivo alla direzione temporale e segno negativo a quella spaziale. Questo è anche conosciuto come modello sigma non lineare[2].

Convenzioni analitiche in teoria delle stringhe[modifica | modifica wikitesto]

Per valutare le proprietà dell'azione di Poljakov è bene ricordare la definizione della lagrangiana nella meccanica relativistica e alcune convenzioni in teoria delle stringhe.

L'approccio Lagrangiano alla meccanica ha il vantaggio di essere facilmente esteso e generalizzato. Per esempio, possiamo scrivere una lagrangiana per una particella relativistica, che sarà valida anche se la particella sta viaggiando quasi alla velocità della luce. Per mantenere l'invarianza di Lorentz, l'azione deve dipendere da quantità che sono le stesse per tutti gli osservatori di Lorentz. La più semplice di queste quantità è il tempo proprio, indicato con  \tau , ovvero il tempo misurato da un orologio in un sistema di riferimento solidale con la particella. In accordo con la relativita ristretta si ha che la quantità:

 -(c \, d \tau )^2 = -ds^2 = -(c \, dt)^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2, \

dove con    c si è indicata la velocità della luce e con   d \tau  = -ds / c è la variazione infinitesime del tempo proprio. Per un punto materiale non soggetto a forze l'azione relativistica è data da[3]:

S = -mc \int ds = -mc^{2} \int d \tau .

dove con  m si è indicata la massa inerziale della particella.

Proprio come il moto di un punto materiale (zero dimensionale) è descrtitto la sua traiettoria su un diagramma spazio-temporale, così una stringa uni-dimensionale è rappresentato da un foglio-mondo. Tutti i fogli di mondo hanno le dimensioni di una superficie bi-dimensionale e quindi abbiamo bisogno di due parametri per specificare un punto sul foglio; i fisici teorici delle stringhe utilizzare i simboli  \tau e  \sigma per questi parametri. Se con d si indica il numero di dimensioni spaziali, noi possiamo rappresentare un punto nello spazio tempo in questo modo:

x = (x^0, x^1, x^2, \ldots, x^d).

Descriviamo una stringa utilizzando delle funzioni che mappano una posizione nello spazio dei parametri ( \tau ,  \sigma ) di un punto nello spazio-tempo. Per ogni valore di  \tau e di  \sigma , queste funzioni sono specificate da un unico vettore di tipo spazio-tempo:


X (\tau, \sigma) = (X^0(\tau,\sigma), X^1(\tau,\sigma), X^2(\tau,\sigma), \ldots, X^d(\tau,\sigma)).

Le funzioni X^\mu (\tau,\sigma) determinano la forma del foglio di mondo presa in condiderazione.

Se  g_{\mu \nu} è il tensore metrico nello spazio tempo(d+1)-dimensionale. Noi abbiamo che la grandezza:

 h_{ab} = g_{\mu \nu} \frac{\partial X^\mu}{\partial \sigma^a} \frac{\partial X^\nu}{\partial \sigma^b} \

è il tensore metrico indotto sui fogli di mondo.

L'area  \mathcal{A} sul foglio di mondo è data da:

 \mathrm{d} \mathcal{A} = \mathrm{d}^2 \sigma \sqrt{- h}

dove

\mathrm{d}^2\sigma = \mathrm{d}\sigma \, \mathrm{d}\tau

e

 h = \mathrm{det} \left( h_{ab} \right) \

Usando la seguente notazione:

\dot{X} = \frac{\partial X}{\partial \tau}

e

X' = \frac{\partial X}{\partial \sigma},

uno può riscrivere il tensore metrico  h_{ab} in questo modo:

 h_{ab} = \left( \begin{array}{cc} \dot{X}^2 & \dot{X} \cdot X' \\ X' \cdot \dot{X} & X'^2 \end{array} \right) \
 h = \dot{X}^2 X'^2 - (\dot{X} \cdot X')^2 .

Simmetrie globali[modifica | modifica wikitesto]

L'azione è invariante per traslazioni e per trasformazioni di Lorentz infinitesimali.

  1. X^\alpha   \to X^\alpha   + b^\alpha
  2. X^\alpha   \to X^\alpha   + \omega _\beta ^\alpha  X^\beta

in cui \omega _{\mu \nu }  =  - \omega _{\nu \mu } , che compone la simmetria di Poincaré del target manifold. b^\alpha è costante, perciò l'azione dipende dalla derivata prima di X^\alpha e per conseguenza \mathcal{S} non varia se sottoposta a traslazione. Ecco la dimostrazione della seconda relazione:

 {\mathcal{S}'} = \frac{T}
{2}\int {{\text{d}}^{\text{2}} \sigma \sqrt { - h} h^{ab} g_{\mu \nu } \partial _a \left( {X^\mu   + \omega _\delta ^\mu  X^\delta  } \right)\partial _b \left( {X^\nu   + \omega _\delta ^\nu  X^\delta  } \right)} =
 = \mathcal{S} + \frac{T}
{2}\int {{\text{d}}^{\text{2}} \sigma \sqrt { - h} h^{ab} \left( {\omega _{\mu \delta } \partial _a X^\mu  \partial _b X^\delta   + \omega _{\nu \delta } \partial _a X^\delta  \partial _b X^\nu  } \right) + O\left( {\omega ^2 } \right)}  =
 = \mathcal{S} + \frac{T}
{2}\int {{\text{d}}^{\text{2}} \sigma \sqrt { - h} h^{ab} \left( {\omega _{\mu \delta }  + \omega _{\nu \delta } } \right)\partial _a X^\mu  \partial _b X^\delta   + O\left( {\omega ^2 } \right)}  = \mathcal{S} + O\left( {\omega ^2 } \right).

Simmetrie locali[modifica | modifica wikitesto]

L'azione è invariante per diffeomorfismi o trasformazioni di coordinate e anche per le trasformazioni di Weyl.

Diffeomorfismi[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri la seguente trasformazione:

\sigma ^\alpha   \to \tilde \sigma ^\alpha  \left( {\sigma ,\tau } \right);

essa trasforma il tensore metrico

h^{ab}  \to \tilde h^{ab}  = h^{cd} \frac{{\partial \tilde \sigma ^a }}
{{\partial \sigma ^c }}\frac{{\partial \tilde \sigma ^b }}
{{\partial \sigma ^d }}.

Così si può vedere che

\tilde h^{ab} \frac{\partial }
{{\partial \tilde \sigma ^a }}X^\mu  \frac{\partial }
{{\partial \tilde \sigma ^b }}X^\nu   = h^{cd} \frac{{\partial \tilde \sigma ^a }}
{{\partial \sigma ^c }}\frac{{\partial \tilde \sigma ^b }}
{{\partial \sigma ^d }}\frac{\partial }
{{\partial \tilde \sigma ^a }}X^\mu  \frac{\partial }
{{\partial \tilde \sigma ^b }}X^\nu   = h^{ab} \partial _a X^\mu  \partial _b X^\nu .

Conoscendo che la Jacobiana di questa trasformazione è data da

{\text{J}} = \det \left( {\frac{{\partial \tilde \sigma ^\alpha  }}
{{\sigma ^\beta  }}} \right),

la quale conduce a

{\text{d}}^{\text{2}} \sigma  \to {\text{d}}^{\text{2}} \tilde \sigma  = {\text{Jd}}^{\text{2}} \sigma
h = \det \left( {h_{ab} } \right) \to \tilde h = {\text{J}}^{{\text{ - 2}}} h,

si vede che

\sqrt { - \tilde h} {\text{d}}^{\text{2}} \tilde \sigma  = \sqrt { - h} {\text{d}}^{\text{2}} \sigma .

Perciò, sommando questa trasformazione, l'azione non varia.


Azione di Nambu-Goto[modifica | modifica wikitesto]

L'azione di Nambu-Goto è la più semplice azione invariante in una teoria di stringa bosonica. Essa è il punto di partenza dell'analisi del comportamento di una stringa, utilizzando i principi della meccanica lagrangiana. Come l'azione relativistica di un punto materiale libero è proporzionale al suo tempo proprio così l'azione relativistica per una stringa è proporzionale all'area del "foglio di mondo" (world-sheet). Ovvero le soluzioni delle equazioni classiche per l'azione di una stringa libera sono le superfici dell'universo con area minima[4].

L'azione di Nambu-Goto prende il nome da fisici giapponesi Yoichiro Nambu e T. Goto[5][6].

L'azione di Nambu–Goto è per definizione proporzionale all'area della superficie e questa azione per una stringa libera risulta essere definita nel seguente modo[7]:

\mathcal{S} \  = -\frac{T_0}{c} \int d\mathcal{A}  = -\frac{T_0}{c} \int \mathrm{d}^2 \sigma \sqrt{- h}  = -\frac{T_0}{c} \int \mathrm{d}^2 \sigma \sqrt{(\dot{X} \cdot X')^2 - (\dot{X})^2 (X')^2}. \

Dove  T_{0} è la tensione della stringa e  c è la velocità della luce.

In genere, teorici delle stringhe lavoro in "unità naturali", dove  c è uguale ad uno, come la costante di Planck  h = 1 e la Costante di gravitazione universale  G = 1 . Inoltre, in parte per motivi storici, usano il "parametro di inclinazione"  \alpha' invece di  T_{0} . Con queste modifiche, l'azione di Nambu-Goto diventa:

\mathcal{S} = -\frac{1}{2\pi\alpha'} \int \mathrm{d}^2 \sigma \sqrt{(\dot{X} \cdot X')^2 - (\dot{X})^2 (X')^2}.

Queste due forme sono, ovviamente, del tutto equivalenti: scegliere l'una o l'altra è una questione di convenzioni e di convenienza.

In genere, l'azione di Nambu-Goto non è l'azione fondamentale per i fisici in quanto preferiscono utilizzare l'azione di Poljakov che è classicamente equivalente alla azione Nambu-Goto, ma è più conveniente per la formulazione quantistica. È tuttavia possibile lo sviluppo di una teoria quantistica delle stringhe partendo dall'azione di Nambu-Goto.


Stringa[modifica | modifica wikitesto]

Una stringa è una struttura sub-atomica ipotetica, uno dei principali oggetti di studio della teoria delle stringhe, una branca della fisica teorica. Ci sono diverse teorie delle stringhe, molte delle quali sono unificate attraverso la M-teoria. Una stringa è un oggetto con una estensione spaziale lineare, a differenza di una particella elementare che è zero dimensionale, cioè puntiforme.

Postulando questa struttura unidimensionale, molte caratteristiche della fisica delle particelle emergono automaticamente; in particolare, quasi ogni teoria delle stringhe è coerente con la meccanica quantistica e contiene anche la gravità quantistica.

La scala di lunghezza caratteristica delle stringhe è dell'ordine della lunghezza di Planck, alla quale si ritiene che gli effetti della gravità quantistica diventino significativi:

 \ell_P =\sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} \cong 1.616 24 (12) \times 10^{-35} m

Su scale di lunghezza molto più grandi, come ad esempio quelle accessibili ai laboratori di fisica nucleare, questi oggetti sono indistinguibili dalle particelle, che appaiono zero-dimensionali. I diversi modi di vibrazione della stringa e la sua struttura danno origine alle varie particelle elementari del modello Standard della teoria quantistica dei campi. Per esempio, uno stato della stringa sarebbe associato ad un fotone ed un altro stato con un quark.

La teoria delle stringhe[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi teoria delle stringhe.

In fisica, la teoria delle stringhe, talvolta definita teoria delle corde, è una teoria che si fonda sul principio secondo cui la materia, l'energia e, sotto certe ipotesi, lo spazio e il tempo sono in realtà la manifestazione di entità fisiche sottostanti che a seconda del numero di dimensioni in cui si sviluppano vengono chiamate "stringhe" oppure "brane".

Al momento si è in dubbio sulla categorizzazione da assegnare a questa teoria: poiché dopo quarantadue anni di storia non si intravede ancora la possibilità di dimostrarla concretamente alcuni ritengono che non abbia vera validità scientifica. Vedi il capitolo relativo.


Interazioni nel modo subatomico: linee d'universo di particelle puntiformi nel Modello Standard (a sinistra) e un foglio d'universo composto da stringhe chiuse nella teoria delle stringhe (a destra)

La teoria delle stringhe è un modello fisico i cui costituenti fondamentali sono oggetti ad una dimensione (le stringhe) invece che di dimensione nulla (i punti) caratteristici della fisica anteriore alla teoria delle stringhe. Per questa ragione le teorie di stringa sono capaci di evitare i problemi di una teoria fisica connessi alla presenza di particelle puntiformi.

Uno studio più approfondito della teoria delle stringhe ha rivelato che gli oggetti descritti dalla teoria possono essere di varie dimensioni e quindi essere punti (0 dimensioni), stringhe (1 dimensione), membrane (2 dimensioni) e oggetti di dimensioni D superiori (D-brane).

Il termine teoria delle stringhe si riferisce propriamente sia alla teoria bosonica a 26 dimensioni che alla teoria supersimmetrica a 10 dimensioni. Tuttavia nell'uso comune, teoria delle stringhe si riferisce alla variante supersimmetrica, mentre la teoria anteriore va sotto il nome di teoria bosonica delle stringhe.

L'interesse della teoria risiede nel fatto che si spera possa essere una teoria del tutto, ossia una teoria che inglobi tutte le forze fondamentali. È una soluzione percorribile per la gravità quantistica e in più può descrivere in modo naturale le interazioni elettromagnetiche e le altre interazioni fondamentali. La teoria supersimmetrica include anche i fermioni, i blocchi costituenti la materia. Non si conosce ancora se la teoria delle stringhe sia capace di descrivere un universo con le stesse caratteristiche di forze e materia di quello osservato finora.

Ad un livello più concreto, la teoria delle stringhe ha originato progressi nella matematica dei nodi, negli spazi di Calabi-Yau e in molti altri campi. La teoria delle stringhe ha anche gettato maggior luce sulle teorie di gauge supersimmetrico, un argomento che include possibili estensioni del modello standard. .

Proprietà principali[modifica | modifica wikitesto]

Teorie delle stringhe
Tipo Dimensioni Dettagli
Bosonica 26 Solo bosoni, nessun fermione, quindi solo forze, niente materia, sia stringhe chiuse che aperte; incongruenza maggiore: una particella con massa immaginaria, chiamata tachione
I 10 Supersimmetria tra forze e materia, con stringhe sia aperte che chiuse, nessun tachione, gruppo simmetrico SO(32)
IIA 10 Supersimmetria tra forze e materia, solo stringhe chiuse, nessun tachione, fermioni privi di massa con spin in entrambe le direzioni (non-chirali)
IIB 10 Supersimmetria tra forze e materia, solo stringhe chiuse, nessun tachione, fermioni privi di massa con spin in un'unica direzione (chirali)
HO 10 Supersimmetria tra forze e materia, solo stringhe chiuse, eterotiche, cioè le stringhe che si muovono verso destra differiscono da quelle che si muovono a sinistra, nessun tachione, gruppo simmetrico SO(32)
HE 10 Supersimmetria tra forze e materia, solo stringhe chiuse, eterotiche, cioè le stringhe che si muovono verso destra differiscono da quelle che si muovono a sinistra, nessun tachione, gruppo simmetrico E8×E8

Se da un lato comprendere i dettagli delle teorie delle stringhe e delle superstringhe richiede la conoscenza di una matematica abbastanza sofisticata, alcune proprietà qualitative delle stringhe quantistiche possono essere capite in modo abbastanza intuitivo. Per esempio, le stringhe sono soggette a tensione, più o meno come le tradizionali corde degli strumenti; questa tensione è considerata un parametro fondamentale della teoria. La tensione della stringa è strettamente collegata alla sua dimensione. Si consideri una stringa chiusa ad anello, libera di muoversi nello spazio senza essere soggetta a forze esterne. La sua tensione tenderà a farla contrarre in un anello sempre più stretto. L'intuizione classica suggerisce che essa potrebbe ridursi ad un punto, ma questo contraddirebbe il principio di indeterminazione di Heisenberg. La dimensione caratteristica della stringa sarà quindi determinata dall'equilibrio fra la forza di tensione, che tende a renderla più piccola, e l'effetto di indeterminazione, che tende a mantenerla "allargata".

Di conseguenza, la dimensione minima della stringa deve essere collegata alla sua tensione.

Dualità[modifica | modifica wikitesto]

Prima degli anni novanta, i teorici delle stringhe credevano ci fossero cinque tipi diversi di superstringhe: tipo I, tipo IIA e tipo IIB, e le due teorie di stringhe eterotiche (SO(32) e E8×E8). Si pensava che tra queste cinque teorie candidate, solo una fosse la corretta teoria del tutto, e quella teoria fosse la teoria il cui basso limite energetico, con dieci dimensioni spaziotemporali compattate a quattro, comportava la fisica osservata nel nostro mondo. Ma ora si sa che questa ingenua rappresentazione è sbagliata e che le cinque teorie delle superstringhe sono connesse ad una ulteriore come se fossero ognuna un caso speciale di una qualche teoria più fondamentale. Queste teorie sono collegate da trasformazioni che sono chiamate dualità. Se due teorie sono messe in relazione da una trasformazione di dualità, significa che la prima teoria può essere trasformata in qualche modo così da finire per essere uguale alla seconda teoria. Le due teorie sono dette essere duali nei confronti di un'altra sotto quel tipo di trasformazione.


Dimensioni Extra[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Dimensione extra.

Una caratteristica interessante della teoria delle stringhe è che essa predice il numero di dimensioni che l'Universo dovrebbe avere. Né la teoria dell'elettromagnetismo di Maxwell né la teoria della relatività di Einstein dicono nulla sull'argomento: entrambe le teorie richiedono che i fisici inseriscano "a mano" il numero delle dimensioni.

Invece, la teoria delle stringhe consente di calcolare il numero di dimensioni dello spazio-tempo dai suoi principi base. Tecnicamente, questo accade perché il principio di invarianza di Lorentz può essere soddisfatto solo in un certo numero di dimensioni. Più o meno questo equivale a dire che se misuriamo la distanza fra due punti e poi ruotiamo il nostro osservatore di un certo angolo e misuriamo di nuovo, la distanza osservata rimane la stessa solo se l'universo ha un ben preciso numero di dimensioni.

Il solo problema è che quando si esegue questo calcolo, il numero di dimensioni dell'universo non è quattro, come ci si potrebbe attendere (tre assi spaziali e uno temporale), bensì ventisei. Più precisamente, le teorie bosoniche implicano 26 dimensioni, mentre le superstringhe e le teorie-M risultano richiedere 10 o 11 dimensioni. Nelle teorie di stringa bosonica, le 26 dimensioni risultano dall'equazione di Poljakov

Z=\int D^F \left [\rho \left (\xi \right ) \right ] \exp \left ( -{(26 - D) \over 12 \pi} \int_\xi \left [ {1 \over 2} {\left (\partial_a \rho \right )^2 \over \rho^2} \right ] + \int_\xi \mu_R^2 \rho^2 \right ).
Una rappresentazione tridimensionale di uno spazio di Calabi-Yau

Comunque, questi modelli sembrano in contraddizione con i fenomeni osservati. I fisici di solito risolvono questo problema in uno dei due diversi modi. Il primo consiste nel compattare le dimensioni extra; cioè, si suppone che le 6 o 7 dimensioni extra producano effetti fisici su un raggio così piccolo da non poter essere rilevate nelle nostre osservazioni sperimentali. Senza aggiungere i flussi, riusciamo ad ottenere la risoluzione del modello a 6 dimensioni con gli spazi di Calabi-Yau. In 7 dimensioni, essi sono chiamati varietà G2 e in 8 varietà Spin(7). In sostanza, queste dimensioni extra vengono matematicamente compattate con successo facendole ripiegare su sé stesse.

Una analogia molto usata per questo è di considerare lo spazio multidimensionale come un tubo di gomma per il giardino. Se guardiamo il tubo da una certa distanza, esso sembra avere una sola dimensione, la sua lunghezza. Questo corrisponde alle quattro dimensioni macroscopiche cui siamo abituati normalmente. Se però ci avviciniamo al tubo, scopriamo che esso ha anche una seconda dimensione, la sua circonferenza. Questa dimensione extra è visibile solo se siamo vicini al tubo, proprio come le dimensioni extra degli spazi di Calabi-Yau sono visibili solo a distanze estremamente piccole, e quindi non sono facilmente osservabili.

(Ovviamente, un normale tubo per il giardino esiste nelle tre dimensioni spaziali, ma per consentire l'analogia si trascura il suo spessore e si considera solo il moto sulla superficie del tubo. Un punto sulla superficie del tubo può essere individuato con due numeri, la distanza da una delle estremità e una distanza sulla circonferenza, proprio come un punto sulla superficie terrestre può essere individuato univocamente dalla latitudine e dalla longitudine. In entrambi i casi, diciamo che l'oggetto ha due dimensioni spaziali. Come la Terra, i tubi da giardino hanno un interno, una regione che richiede una dimensione extra; però, a differenza della Terra, uno spazio di Calabi-Yau non ha un interno).

Un'altra possibilità è che noi siamo bloccati in un sottospazio a "3+1" dimensioni dell'intero universo, ove il 3+1 ci ricorda che il tempo è una dimensione di tipo diverso dallo spazio. Siccome questa idea implica oggetti matematici chiamati D-brane, essa è nota come Teoria Braneworld.

In entrambi i casi la gravità, agendo nelle dimensioni nascoste, produce altre forze non gravitazionali, come l'elettromagnetismo. In linea di principio, quindi, è possibile dedurre la natura di queste dimensioni extra imponendo la congruenza con il modello standard, ma questa non è ancora una possibilità pratica.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Vedi: Physics Letters B65, pp. 369 e 471 rispettivamente e Joseph Polchinski, String Theory, Cambridge University Press (1998). Vol. 2: Superstring theory and beyond, ISBN 0-521-63304-4.
  2. ^ D. Friedan, Nonlinear Models in 2+ε Dimensions in Physical Review Letters, vol. 45, 1980, p. 1057, DOI:10.1103/PhysRevLett.45.1057.
  3. ^ L.D. Landau and E.M. Lifshitz The Classical Theory of Fields Addison-Wesley 1971 sec 8.p.24-25
  4. ^ Joseph Polchinski, String Theory, Cambridge University Press (1998). Vol. 2: Superstring theory and beyond, ISBN 0-521-63304-4.
  5. ^ Y. Nambu and G. Jona-Lasinio, Phys. Rev., 122, 345-358 (1961)
  6. ^ Y. Nambu and G. Jona-Lasinio, Phys. Rev.,124, 246-254 (1961)
  7. ^ Joseph Polchinski, String Theory, Cambridge University Press (1998). Vol. 2: Superstring theory and beyond, ISBN 0-521-63304-4.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Testi divulgativi[modifica | modifica wikitesto]

Manuali[modifica | modifica wikitesto]

  • Michael Green, John Schwarz and Edward Witten, Superstring theory, Cambridge University Press (1987). Il libro di testo originale.
  • Johnson, Clifford, D-branes, Cambridge University Press (2003). ISBN 0-521-80912-6.
  • Joseph Polchinski, String Theory, Cambridge University Press (1998). Un testo moderno.
  • Zwiebach, Barton. A First Course in String Theory. Cambridge University Press (2004). ISBN 0-521-83143-1. Sono disponibili correzioni online.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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