Assiomi di Huzita-Hatori

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Gli assiomi di Huzita-Hatori sono gli assiomi su cui si basa la matematica degli origami. I primi sei assiomi sono stati formulati dal matematico italo-giapponese Humiaki Huzita nel 1992, e descrivono le operazioni che sono consentite quando si piega un pezzo di carta, come nell'arte dell'origami. Il settimo assioma è stato aggiunto dal matematico giapponese Koshiro Hatori.

I sette assiomi[modifica | modifica wikitesto]

Gli assiomi si basano sulle ipotesi che ogni operazione sia eseguita su un piano, e che tutte le piegature siano in linea retta. Gli assiomi sono i seguenti:

  1. Dati due punti p1 e p2, esiste un'unica piegatura che passi per entrambi.
  2. Dati due punti p1 e p2, esiste un'unica piegatura che porti p1 su p2.
  3. Date due linee rette l1 e l2, esiste sempre una piegatura che porti l1 su l2.
  4. Dati un punto p e una retta l, esiste un'unica piegatura perpendicolare a l che passi per il punto p.
  5. Dati due punti p1 e p2 e una retta l, se esiste una piegatura passante per p2 che porti p1 su l, allora tale piegatura può essere costruita.
  6. Dati due punti p1 e p2 e due rette l1 e l2, se esiste una piegatura che porti p1 su l1 e p2 su l2. allora tale piegatura può essere costruita.
  7. Dati un punto p e due rette l1 e l2, esiste sempre una piegatura perpendicolare a l2 che porti p su l1.

Si può notare che l'assioma (5) può avere zero, una o due soluzioni, mentre l'assioma (6) può averne zero, una, due o tre. In questo modo, le costruzioni geometriche che ne risultano sono più forti delle costruzioni con riga e compasso, dove il numero massimo di soluzioni di un assioma è due. Per questo motivo le costruzioni con riga e compasso possono risolvere al massimo equazioni di secondo grado, mentre le costruzioni per mezzo di origami possono risolvere anche equazioni di terzo grado.

Dettagli[modifica | modifica wikitesto]

Assioma 1[modifica | modifica wikitesto]

Dati due punti p1 e p2, esiste un'unica piegatura che passi per entrambi.

Retta passante per due punti

In forma parametrica, l'equazione della retta passante per i due punti è:

F(s)=p_1 +s(p_2 - p_1)

Assioma 2[modifica | modifica wikitesto]

Dati due punti p1 e p2, esiste un'unica piegatura che porti p1 su p2.

Retta che porta un punto su un altro

Questo assioma è equivalente a trovare la bisettrice perpendicolare al segmento p1p2. Ciò può essere fatto in quattro passi:

  • Usare l'Assioma 1 per trovare la linea tra p1 e p2, data da P(s)=p_1+s(p_2-p_1)
  • Trovare il punto medio (pmid) di P(s)
  • Trovare il vettore vperp perpendicolare a P(s)
  • L'equazione parametrica della piegatura è quindi:
F(s)=p_\mathrm{mid} + s\cdot\mathbf{v}^{\mathrm{perp}}

Assioma 3[modifica | modifica wikitesto]

Date due linee rette l1 e l2, esiste sempre una piegatura che porti l1 su l2.

Piegatura che porta una linea su un'altra

Questo assioma equivale a trovare la bisettrice dell'angolo compreso tra l1 e l2. Chiamiamo p1 e p2 due punti qualsiasi su l1, e q1 e q2 due punti qualsiasi su l2. Inoltre, chiamiamo u e v i versori che identificano le direzioni rispettivamente di l1 e di l2. Si ha quindi:

\mathbf{u} = (p_2-p_1) / \left|(p_2-p_1)\right|
\mathbf{v} = (q_2-q_1) / \left|(q_2-q_1)\right|

Se le due linee non sono parallele, il loro punto di intersezione è:

p_\mathrm{int} = p_1+s_\mathrm{int}\cdot\mathbf{u}

dove

s_{int} = \frac{-v^{\perp}\cdot(p_1 - q_1) } {-\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}

La bisettrice di una delle bisettrici è data da:

\mathbf{w} = \frac{
\left|\mathbf{u}\right| \mathbf{v} +
\left|\mathbf{v}\right| \mathbf{u}}
{\left|\mathbf{u}\right| +
\left|\mathbf{v}\right|}

E l'equazione parametrica della piegatura è quindi:

F(s) = p_\mathrm{int} + s\cdot\mathbf{w}

Esiste anche una seconda bisettrice, perpendicolare alla prima e passante per pint. Piegare lungo questa seconda bisettrice porterà comunque al risultato desiderato di portare l1 su l2. Può non essere possibile eseguire l'una o l'altra tra queste piegature, a seconda della posizione del punto di intersezione

Se le due linee sono parallele, non hanno intersezioni. La piegatura dovrà essere la linea mediana tra l1 e l2, parallela ad esse.

Assioma 4[modifica | modifica wikitesto]

Dati un punto p1 e una retta l1, esiste un'unica piegatura perpendicolare a l che passi per il punto p.

Piega perpendicolare a una retta passante per un punto

Questo è equivalente a trovare una perpendicolare a l1 che passi per p1. Se troviamo un vettore v perpendicolare a l1, allora l'[equazione parametrica] della piegatura sarà:

F(s) = p_1 + s\cdot\mathbf{v}

Assioma 5[modifica | modifica wikitesto]

Dati due punti p1 e p2 e una retta l, se esiste una piegatura passante per p2 che porti p1 su l, allora tale piegatura può essere costruita.

Piegare un punto sulla linea che passa per un altro punto

Esempio in cui non ci sono soluzioni: i punti p1 e p2 si trovano su una retta perpendicolare a l e la distanza di p2 da l è maggiore della distanza di p1 da l.

Assioma 6[modifica | modifica wikitesto]

Dati due punti p1 e p2 e due rette l1 e l2, se esiste una piegatura che porti p1 su l1 e p2 su l2, allora tale piegatura può essere costruita.

Huzita axiom 6.png

Esempio in cui non ci sono soluzioni: le due rette l1 e l2 sono parallele, i punti p1 e p2 si trovano su una retta perpendicolare a l1 e l2, dalla stessa parte del piano rispetto alle due rette e la distanza di p1 da l1 è uguale alla distanza di p2 da l2.

Questo assioma equivale a trovare una retta che sia contemporaneamente tangente a due parabole, e può essere considerata equivalente alla risoluzione di un'equazione di terzo grado. Le due parabole hanno fuochi rispettivamente in p1 e p2, con direttrici definite da l1 e l2.

Assioma 7[modifica | modifica wikitesto]

Dati un punto p e due rette l1 e l2, esiste sempre una piegatura perpendicolare a l2 che porti p su l1.

Huzita-Hatori axiom 7.png

Koshiro Hatori ha scoperto questo assioma, e Robert Lang ha dimostrato che completa la lista degli assiomi dell'origami.

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