Assioma di Dedekind

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In matematica, l'assioma di Dedekind, detto anche assioma di continuità oppure assioma di completezza, riguarda l'insieme dei numeri reali R; esso afferma che ogni insieme S di numeri reali che non sia vuoto e che sia limitato superiormente possiede un estremo superiore, vale a dire un numero reale uguale o maggiore di tutti gli elementi di S e tale che non esista nessun reale più piccolo con tale proprietà.

Se ad esempio l'insieme S considerato è quello dei numeri il cui quadrato è inferiore a 2 (in simboli, l'insieme {xR | x2 < 2}), l'estremo superiore è \sqrt 2. L'assioma si può enunciare anche per ogni sottoinsieme di R che sia non vuoto e inferiormente limitato: in questo caso si garantisce che l'insieme abbia un estremo inferiore.

Questo assioma è molto utile perché è essenziale per dimostrare che la retta reale è uno spazio metrico completo. L'insieme dei numeri razionali non soddisfa questo assioma, e perciò non è completo: per l'insieme S definito precedentemente non esiste un estremo superiore appartenente a Q.

Assioma di completezza e continuità della retta[modifica | modifica wikitesto]

Una formulazione alternativa dell'assioma di Dedekind, nota sotto il nome di assioma di completezza, è la seguente.

« Presa comunque una partizione di tutti i punti di una retta in due sottoinsiemi, tale che nessun punto di un sottoinsieme giace tra due punti dell'altro, esiste un punto di un sottoinsieme che giace tra tutti gli altri punti di quel sottoinsieme e tutti i punti dell'altro. »

L'assioma di Dedekind (o di completezza) permette di porre in corrispondenza biunivoca i punti di una retta con gli elementi dell'insieme R.

Completezza dei numeri reali[modifica | modifica wikitesto]

Usando l'assioma di Dedekind si può dimostrare che i numeri reali formano uno spazio completo: in altre parole, che ogni successione di Cauchy è convergente.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia \{ s_n\} una successione di Cauchy. Sia  S l'insieme dei numeri reali che sono maggiori di s_n solo per un numero finito di valori di n. Questo insieme è quindi limitato superiormente e quindi ha un estremo superiore  s per l'assioma di Dedekind. Mostriamo che effettivamente la successione  s_n tende a  s .

Per ogni  \varepsilon , esiste un  N tale che |s_n-s_m|<\varepsilon per ogni  n ,  m maggiore o uguale a  N. Allora la successione assume infinite volte valori all'interno dell'intervallo (s_N-\varepsilon, s_N+\varepsilon) e un numero finito di volte nel suo complementare. Quindi s_N-\varepsilon è un elemento di  S e s_N+\varepsilon è maggiore di ogni elemento di  S , e quindi è maggiore o uguale ad  s .

Quindi  s è contenuto nell'intervallo (s_N-\varepsilon, s_N+\varepsilon), e per la disuguaglianza triangolare risulta che

d(s_n, s)\le d(s_n, s_N)+d(s_N, s)\le\varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon.

Quindi s_n\to s e la successione converge. Q.E.D.


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